Регистрация / Вход
Прислать материал

QTT-технология решения многомасштабных задач

Номер контракта: 14.618.21.0004

Руководитель: Оселедец Иван Валерьевич

Должность: доцент

Организация: Автономная некоммерческая образовательная организация высшего образования "Сколковский институт науки и технологий"
Организация докладчика: Автономная некоммерческая образовательная организация высшего профессионального образования "Сколковский институт науки и технологий"

Аннотация скачать
Постер скачать
Ключевые слова:
многомасштабное моделирование, тензорные разложения, qtt формат

Цель проекта:
Целью предлагаемого проекта является разработка комплекса программного обеспечения и соответствующей математической и алгоритмической базы для точного и вычислительно-эффективного многомасштабного моделирования физических процессов, а также применение предложенного комплекса для расчета ряда прикладных задач. В настоящем проекте предлагается разработать общую технологию решения класса задач многомасштабного моделирования на основе QTT-разложения для задач с периодической или квазипериодической структурой. Этот класс задач включает в себя задачи дизайна метаматериалов и композитов, а также задачи прямого численного моделирования фотонных кристаллов. Предлагаемая методология базируется на принципиально новой математической идее, разрабатываемой с 2014-го года в сотрудничестве с Кристофом Швабом (профессор Высшей технической школы Цюриха, иностранный партнер настоящего проекта). Основной идеей используемого метода является разрешение всех пространственных масштабов с помощью использования очень мелких сеток и эффективное вычисление и хранение искомого решения в малопараметрическом тензорном формате (quantized tensor train (QTT) представление). Использование мелких сеток становится возможным благодаря тому, что QTT представление имеет логарифмическую сложность по размеру расчетной сетки N, что открывает возможность для решения задач на "виртуальных" сетках "астрономического масштаба" (например, порядка 2^300). Благодаря общности используемого подхода, разрабатываемый программный комплекс должен быть легко адаптируем к конкретным техническим приложениям.

Основные планируемые результаты проекта:
В рамках исследования ставятся как теоретические задачи, так и задачи, связанные с разработкой и реализацией эффективных численных алгоритмов для работы с дискретными постановками задач математической физики на сверхмелких сетках, представленными в QTT-формате:

1. Получение теоретических оценок сходимости решения и сжатия данных в многомасштабных задачах с помощью QTT представления.

2. Разработка устойчивых дискретных постановок и связанных с ними численных методов решения задач на сверхмелких расчетных сетках.

3. Написание комплекса программного обеспечения с открытым исходным кодом, реализующего базовые алгоритмы QTT-технологии.

4. Применение программного комплекса для решения ряда прикладных задач (периодические и квазиопериодические структуры композитных материалов, прямое численное моделирование фотонных кристаллов).

Краткая характеристика создаваемой/созданной научной (научно-технической, инновационной) продукции:
Для решения многомасшабных задач на сегодняшний день существует несколько семейств методов, которые неоднократно доказывали свою эффективность при решении практических задач. В первую очередь, отметим классические результаты отечественной школы [N. Bakhvalov, G. Panasenko, Springer Mathematics and its Applications, 1989], [V. Jikov, et al., Springer-Verlag, 1994]. Этот подход основан на использовании асимптотических разложений по малому параметру (отношение масштабов). Если такое разложение удается получить, то получается простой и очень эффективный метод расчета. Недостатком (и существенным!) является отсутствие универсальности: для каждой конкретной задачи необходимо выводить свои разложения, учитывать пограничные слои и т.п. Альтернативным подходом является численное моделирование. Для численного описания многомасштабной задачи с достаточной точностью необходимо ввести сетку, описывающую самый мелких из масштабов задачи. Это приводит к тому, что при сильном отличии масштабов решение на такой сетке невозможно поместить в память даже суперкомпьютеров. Поэтому на практике используются методы конечных элементов со специальными базисными функциями [Hou T. Y., Wu X. H., J. Comp. Phys., Т. 134. – №. 1. – С. 169-189., 1997], [Schwab C., Matache A. M., Springer Berlin Heidelberg, 2002], для которых теоретически обоснована эффективность и оптимальность. Однако, построение таких методов необходимо осуществлять для каждой конкретной задачи с нуля, так как требуется знание аналитических свойств решения. Фактически, каждая новая задача представляет собой отдельное серьезное исследование, и инженеры очень редко используют многомасштабные конечные элементы в своей практике.

Предлагаемый нами подход основан на принципиально новой математической идее. Сначала вводится очень мелкая расчетная сетка, способная описать самый мелкий из масштабов задачи. Хранение вектора решения на такой сетке невозможно, однако можно наложить дополнительное ограничение о том, что мы хотим найти решение лишь с некоторой наперед заданной точностью. В таком случае можно использовать специальный формат хранения данных, который требует гораздо меньшего количества памяти. В качестве такого формата предлагается использовать тензорные форматы приближения многомерных массивов [Oseledets I. V., SIAM J. Sci. Comp. – 2011. – Т. 33. – №. 5. – С. 2295-2317]. Ключевым моментом является представление рассматриваемых двух- или трехмерных массивов в виде многомерных с помощью введения виртуальных размерностей (квантизация). Тензорные разложения для таких многомерных массивов (QTT формат [I. V. Oseledets, SIAM J. Matrix Anal. Appl., Т. 31., №. 4., С. 2130-2145, 2010]) будут содержать логарифмическое количество данных по числу неизвестных на исходной "виртуальной сетке", что и позволяет использовать крайне мелкие сетки. Важно убедиться, что такое приближение действительно существует. Несмотря на наличие нескольких работ, где существование QTT-аппроксимации подтверждалось численными экспериментами, вопрос о теоретическом обосновании оставался открытым. В 2015 году были впервые получены теоретические результаты для одномерных многомасштабных задач [Schwab, et al., 2015]. Эффективность использования QTT основана на уже хорошо изученных алгебраических свойствах формата: мы можем проводить операции с векторами и матрицами, представленными в таком формате, строить приближения. Благодаря этому, предлагаемый подход не зависит от конкретного приложения и является именно технологией.

Особый интерес представляет применение программного комплекса для решения прикладных задач. Мы планируем сфокусироваться на двух направлениях. Первое - это расчет механических свойств периодических и квазипериодических структур (композитные материалы, метаматериалы). Второе - это расчет дифракционных явлений в фотонных кристаллах различной структуры. Здесь требуются методы решения уравнения Максвелла, и в составе коллектива есть специалисты по численному решению таких уравнений.

Назначение и область применения, эффекты от внедрения результатов проекта:
Результаты, полученные в нашем проекте, ориентированы на широкое применение в области многомасштабного моделирования физических процессов включая:

1) Прямое численное моделирование фотонных кристаллов
2) Расчет свойств периодических и квазипериодических структур (композитных материалов)

Одним из ключевых моментов является тот факт, что алгоритмы работы с QTT форматом носят общий характер (универсальны), что позволяет говорить о предлагаемом подходе как об общей технологии решения многомасштабных задач.

Текущие результаты проекта:
Руководитель проекта И. В. Оселедец является известным специалистом в области малоранговых приближений и быстрых численных методов решения дифференциальных и интегральных уравнений. Он также является автором известных тензорных разложений: разложения тензорного поезда (ТТ-разложение) и используемого в настоящей работе QTT разложения. Им был разработан ряд эффективных методов работы с многомерными массивами данных и тензорными форматами. Предложенные алгоритмы оформлены в виде программного кода (TT-toolbox [I. V. Oseledets, TT-Toolbox 2.2., 2012.]), который должен стать основой для разрабатываемого программного комплекса.

К. Шваб (иностранный партнер настоящего проекта) является одним из ведущих специалистов в области математической физики. Совместно с другими участниками проекта им было показано в работе [C. Schwab et al., 2015], что решение одномерных многомасштабных задач математической физики может быть компактным образом представлено в QTT-формате. Следующим шагом является обобщение полученных результатов на многомерный случай.