Регистрация / Вход
Прислать материал

14.618.21.0004

Аннотация скачать
Постер скачать
Общие сведения
Номер
14.618.21.0004
Тематическое направление
Информационно-телекоммуникационные системы
Исполнитель проекта
Автономная некоммерческая образовательная организация высшего профессионального образования "Сколковский институт науки и технологий"
Название доклада
QTT-технология решения многомасштабных задач
Докладчик
Оселедец Иван Валерьевич
Тезисы доклада
Цели и задачи исследования
Цель проекта – разработка комплекса программного обеспечения и соответствующей математической и алгоритмической базы для точного и вычислительно-эффективного многомасштабного моделирования физических процессов, а также применение данного комплекса для расчета ряда прикладных задач.

В основе предлагаемой методологии лежит идея разрешения всех пространственных масштабов с помощью использования очень мелких сеток и эффективного вычисления искомого решения в малопараметрическом тензорном формате (quantized tensor train (QTT) представление). QTT представление имеет логарифмическую сложность по размеру расчетной сетки, что открывает возможность для решения задач на сверхмелких расчетных сетках (например, на сетках с числом узлов порядка 2^60). Благодаря общности используемого подхода, разрабатываемый программный комплекс легко адаптируем к конкретным техническим приложениям.

Основными задачами исследования является:
1) получение теоретических оценок сходимости решения и сжатия данных в многомасштабных задачах с помощью QTT представления,
2) разработка устойчивых дискретных постановок и связанных с ними численных методов решения задач на сверхмелких расчетных сетках,
3) написание комплекса программного обеспечения, реализующего базовые алгоритмы QTT-технологии,
4) применение программного комплекса для решения ряда прикладных задач (периодические и квазиопериодические структуры композитных материалов, прямое численное моделирование фотонных кристаллов).
Актуальность и новизна исследования
Для решения многомасштабных задач существует несколько семейств методов, которые неоднократно доказывали свою эффективность. В первую очередь, отметим подход, основанный на использовании асимптотических разложений по малому параметру. Если такое разложение удается построить, то получается простой и очень эффективный метод расчета, однако недостатком является отсутствие универсальности: для каждой конкретной задачи необходимо выводить свои разложения, учитывать пограничные слои и т.п.

Альтернативным подходом является численное моделирование. Для численного описания многомасштабной задачи с достаточной точностью необходимо ввести сетку, описывающую самый мелких из масштабов задачи. Это приводит к тому, что при сильном отличии масштабов решение на такой сетке невозможно поместить в память даже суперкомпьютеров. Поэтому на практике используются методы конечных элементов со специальными базисными функциям, для которых теоретически обоснована эффективность и оптимальность. Однако построение таких методов необходимо осуществлять для каждой конкретной задачи с нуля, так как требуется знание аналитических свойств решения. Фактически, каждая новая задача представляет собой отдельное серьезное исследование, и инженеры очень редко используют многомасштабные конечные элементы в своей практике.

В настоящем проекте предлагается разработать общую технологию решения класса задач многомасштабного моделирования на основе малопараметрического тензорного формата quantized tensor train (QTT).
Описание исследования

Предлагаемый подход основан на принципиально новой математической идее. Сначала вводится очень мелкая расчетная сетка, способная описать самый мелкий из масштабов задачи. Хранение вектора решения на такой сетке невозможно, однако можно наложить дополнительное ограничение о том, что мы хотим найти решение лишь с некоторой наперед заданной точностью. В таком случае можно использовать специальный формат хранения данных, который требует гораздо меньшего количества памяти. В качестве такого формата предлагается использовать тензорные форматы приближения многомерных массивов [Oseledets I. V., SIAM J. Sci. Comp. – 2011. – Т. 33. – №. 5. – С. 2295-2317].

 

Ключевым моментом является представление рассматриваемых одно-, дву- или трехмерных массивов в виде многомерных с помощью введения виртуальных размерностей (квантизация). Тензорные разложения для таких многомерных массивов (QTT формат [I. V. Oseledets, SIAM J. Matrix Anal. Appl., Т. 31., №. 4., С. 2130-2145, 2010]) будут содержать логарифмическое количество данных по числу неизвестных на исходной виртуальной сетке, что и позволяет использовать крайне мелкие сетки.

 

Важно убедиться, что эффективное приближение решения в QTT-формате действительно существует. Несмотря на наличие нескольких работ, где существование QTT-аппроксимации подтверждалось численными экспериментами, вопрос о теоретическом обосновании оставался открытым. В 2015 году были впервые получены теоретические результаты для одномерных многомасштабных задач [Schwab, et al., 2015]. Эффективность использования QTT основана на уже хорошо изученных алгебраических свойствах формата: мы можем проводить операции с векторами и матрицами, представленными в таком формате, строить приближения. Благодаря этому, предлагаемый подход не зависит от конкретного приложения и является именно технологией. Таким образом, для успешной реализации подхода должны быть рассмотрены следующие вопросы:

1) разработка теории, включающей оценки степени сжатия в QTT представлении решения,

2) исследование типов уравнений, допускающих QTT представления с малым числом параметров,

3) разработка специальных схем дискретизации, позволяющих устойчивым образом работать с крайне мелкими расчетными сетками,

4) разработка алгоритмов компактного представления операторов решаемых уравнений в QTT формате

5) написание высокоэффективного программного кода на основе наших теоретических разработок и существующих алгоритмов работы с QTT форматом,

6) подтверждение точности и эффективности разработанной технологии с помощью решения ряда прикладных задач.

Результаты исследования

В рамках исследования решаются как теоретические задачи (эта часть выполняется иностранным партнером), так и задачи, связанные с разработкой и реализацией эффективных численных алгоритмов для работы с дискретными постановками задач математической физики на сверхмелких расчетных сетках, представленными в QTT-формате.

 

В работе [C. Schwab et al., 2015] совместно с будущим иностранным партнером данного проекта нами было показано, что решение одномерных многомасштабных задач математической физики может быть компактным образом представлено в QTT-формате. Следующим шагом стало обобщение полученных результатов на двумерный и трехмерный случай.

 

С вычислительной точки зрения, использование крайне мелких сеток приводит к численной неустойчивости дифференциальной постановки, поэтому в качестве решения нами была использована переформулировка исходной задачи в устойчивую форму с новыми переменными.

 

После решения описанных вопросов стало возможным написание программного комплекса на основе разработанных алгоритмов приближения в QTT формате. Одним из ключевых моментов является тот факт, что алгоритмы работы с QTT форматом носят общий характер, что позволяет говорить о предлагаемом подходе как о технологии решения многомасштабных задач.

 

Особый интерес представляет применение программного комплекса для решения прикладных задач, и мы сфокусировались на двух направлениях. Первое – это расчет механических свойств периодических и квазипериодических структур (композитные материалы, метаматериалы). Второе - это расчет дифракционных явлений в фотонных кристаллах различной структуры.

 

Таким образом, к октябрю 2016 г. нами получены следующие результаты:

1) разработана новая устойчивая схема дискретизации в QTT-формате и соответствующие алгоритмы (Finite Sum QTT) для решения одно-, дву- и трёхмерных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих задачу многомасштабной диффузии на сверхмелких расчетных сетках,

2) алгоритмы реализованы в виде тестовой версии комплекса программного обеспечения (FS-QTT-solver), позволяющего производить расчеты для ряда одно-, дву- и трёхмерных многомасштабных задач с заданной пользователем точностью,

3) предварительные результаты по обобщению построенных методов на задачи моделирования механических свойств периодических структур и задачи распространения излучения.

 

Иностранным партнёром проекта к октябрю 2016 г. получены результаты:

1) сформулирован последовательный вывод новой устойчивой схемы Finite Sum QTT на основе вариационной формулировки исходного уравнения диффузионного типа для одно-, дву- и трёхмерных задач,

2) получены предварительные результаты по обоснованию полилогарифмического характера сходимости и степени сжатия решения дву- и трёхмерных уравнений диффузионного типа с использованием схемы Finite Sum QTT.

Практическая значимость исследования
Финальный продукт (FS-QTT-Solver), разрабатываемый в рамках данного проекта, представляет комплекс программного обеспечения для точного и вычислительно-эффективного многомасштабного моделирования физических процессов. FS-QTT-Solver использует преимущества компактного (малопараметрического) QTT-представления и способен решать прикладные задачи на больших перепадах масштаба с заданной пользователем точностью на современной рабочей станции. В качестве базового пакета, реализующего основные методы работы с массивами в QTT- и TT-формате, используется пакет ttpy (http://github.com/oseledets/ttpy) и его MATLAB-вариант (http://github.com/oseledets/TT-Toolbox). Эти пакеты разрабатываются уже в течение 5 лет, и, согласно оценке https://www.openhub.net/p/TT-Toolbox/estimated_cost, стоимость разработки такого пакета составляет порядка 700 000 долларов.

Любое математическое моделирование рано или поздно становится многомасштабным, и необходимость точно учитывать процессы, происходящие на разных масштабах, играет ключевую роль не только в количественном, но и в качественном описании физических процессов. Подавляющее большинство современных материалов, которые используются в производстве, являются композитными, что позволяет существенно улучшить их характеристики. В силу этого, необходимо уметь с высокой точностью рассчитывать свойства таких многомасштабных структур не только с целью их оптимизации, но и с целью сертификации и оценки надежности изготавливаемых на их основе изделий и устройств.