Разработка алгоритмов и программного обеспечения, осуществляющего фрактально-статистический анализ временных рядов на фондовых рынках.

Математическая теория хаоса, являющаяся одним из направлений нелинейной динамики, позволяет выявить сущность глубинных экономических процессов, часто скрытых и неявных, и разработать основу для принятия инвестором управленческих решений при работе с фондовым рынком.

Целью данной работы является разработка алгоритмов и программного обеспечения, позволяющего выделить детерминированную и случайную части временного ряда изменения цен на фондовом рынке. Для этого требуется:

1. Реализовать алгоритм, вычисляющий корреляционный интеграл временного ряда, который оценивает случайную составляющую временного ряда.
2. Протестировать алгоритм на временных рядах.
3. Обработать полученную статистическую информацию.

В результате работы к различным временным рядам необходимо применить анализ и вычисление корреляционного интеграла.

Алгоритм вычисления корреляционного интеграла основан на методе Такенса, который заключается в следующем: необходимо построить псевдо аттрактор, где в качестве компонент вектора выступает сама переменная x(t), но взятая с некоторой временной задержкой:

\(s=\left \{x(t), x(t+\tau ), x(t+2\tau), ..., x(t+(m-1)\tau)\right \}\)

В силу неизвестности вложения m необходимо вычислять корреляционную размерность D_c при каждом m=2,3....

Размерность пространства вложения m может быть найдена в ходе восстановления аттрактора в пространстве вложения все большей размерности. Если график хаотический, то зависимость корреляционной размерности D_c от m будет сначала возрастать, а потом стабилизируется или войдет в насыщение.

Для вычисления корреляционной размерности, для вложения размерности D_c, необходимо рассчитать корреляционный интеграл C_m(e) при различных e.

Применяется алгоритм Грассбергера-Прокаччиа:

\(C(\varepsilon )=\lim_{N \to \infty}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\Theta (\varepsilon-|x_i - x_j|)= C_{m}(\varepsilon )\)

После этого строится линейная регрессия в двойных логарифмических координатах

 \(\log{C_m(\varepsilon)}\) и \(\log{(\varepsilon)}\).

После того, как найдена корреляционная размерность вложения, строится график зависимости C(m) от m. Если график стабилизируется, то находится минимальное m, на котором C(m) достигает максимального значения, с некоторой заданной ошибкой, в таком случае m берется, как размерность вложения.

Затем, делается вывод о величине случайного шума, входящего в исходный временной ряд.

Научный руководитель: доцент, к.ф.-м.н. Шихеева В.В.