Регистрация / Вход
Прислать материал

Численные методы в задаче присвоения спектра

Фамилия
Ланская
Имя
Мария
Отчество
Вадимовна
Номинация
Информационные технологии
Институт
Институт информационных технологий и автоматизированных систем управления (ИТАСУ)
Кафедра
Инженерной кибернетики
Академическая группа
ММ-14-1
Научный руководитель
к.ф.-м.н., доц. Капалин И.В.
Название тезиса
Численные методы в задаче присвоения спектра
Тезис

На данный момент задача размещения собственных значений матрицы линейной динамической системы \(\dot{x} = Ax+b\) c законом управления  \(u = -\vec{k}x\) в желаемые позиции на комплексной плоскости является актуальной в контексте назначения показателей качества. Изменяя положение собственных значений, можно добиться устойчивости или улучшения качества переходных процессов. 

Существует метод изменения всех собственных значений матрицы A, однако он не является эффективным для матриц большой размерности. Рост размерности обычно приводит к увеличению числа обусловленности матрицы собственных векторов замкнутой системы, что вследствие приводит к увеличению амплитуды управления. В связи с этим предлагается использовать изменение только нескольких собственных значений в матрице (частичного присвоения спектра) для построения управления.

Пусть дана матрица А, вектор b. Закон управления выражается формулой: \(u = -\vec{k}x\).Тогда для изменения одного собственного значения можно воспользоваться формулой: \(a_{1,1} - <v_1,{\vec{k}}_1> = \alpha_1^*\), где \(a_{1,1}\) – элемент матрицы А, \(b_1\) – элемент вектора b, \( \alpha_1^*\) – желаемое собственное значение. Для изменения нескольких собственных значений можно воспользоваться той же идеей и получить линейную систему из нескольких уравнений относительно вектора \(\vec{k}\)

В работе будут рассмотрены способы изменения нескольких собственных значений матрицы системы. Главная задача данной работы: выбор вектора \(\vec{k} \) по заданным критериям качества (время регулирования, перерегулирования) на основе частичного присвоения спектра. В результате работы будет разработан программный код в системе MATLAB, позволяющий находить вектор \(\vec{k} \) согласно определённым условиям.