Полное доказательство универсальных неравенств для функции распределения биномиального закона

В работе приводятся новая формулировка и полное доказательство
явных двусторонних оценок для функции распределения биномиального
закона, содержащихся в статье Д.\,Алферса и Х.\,Дингеса (1984~г.). Эти
оценки универсальны, так как справедливы для любых биномиальных распределений и любых значений аргумента, и точны в том смысле, что верхняя оценка значения функции распределения в любой целочисленной точке~$k$ является нижней
оценкой значения этой функции в точке $k+1$. Такие оценки позволяют
для любой квантили биномиального распределения указывать
содержащую ее пару соседних целых чисел.

Пусть $X_{n,p}$ --- случайная величина, имеющая биномиальное распределение с параметрами $(n,p)$:

$$

{\bP}\{X_{n,p}\le k\}= \sum_{0\le m\le k} C_n^mp^m(1-p)^{n-m}.

$$

Так как вычисление сумм с биномиальными коэффициентами при больших $n$ весьма громоздко, то при нахождении приближенных значений функции биномиального распределения, как правило, используется теорема Муавра--Лапласа

$$

\lim_{n\to\infty} {\bP}\{X_{n,p}\le

np+x\sqrt{np(1-p)}\}=\Phi(x)=\int_{-\infty}^x \varphi(u)\,du,\quad

\varphi(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\,e^{-u^2/2},

$$

согласно которой ${\bP}\{X_{n,p}\le k\} \approx

\Phi(({k-np})/{\sqrt{np(1-p)}})$, если~$np$ и~$k$

достаточно велики.

В качестве примера оценок не асимптотического характера можно привести формулу С.\,Н.\,Бернштейна \cite{ZubSer:B}

$$

\sum_{k=m_0}^{m_1-1} C_n^kp^k(1-p)^{n-k} = \frac1{\sqrt{\pi}}\int_{z_0}^{z_1} e^{-u^2}\,du,

$$

где $m_0$, $m_1$ --- целые, $z_k$ --- корень уравнения

$$

z_k\sqrt{2np(1-p)}+\frac{1-2p}3\,z_k^2=m_k-np+\alpha_k

$$

при некотором $\alpha_k\in(-3/2,1/2)$ и $np(1-p)\ge 62.5$, $0\le z_0

Для построения статистических критериев с заданными вероятностями ошибок требуется информация о значениях \otk хвостов\zaks распределений.

Однако относительная погрешность обычных нормальных аппроксимаций биномиального распределения на его хвостах довольно велика, в частности, из-за сверхэкспоненциального убывания хвостов. Это послужило одной из причин разработки теории больших уклонений, доказательства различных неравенств для хвостов биномиального закона, а также для хвостов распределений сумм случайных величин.

Цель настоящей работы --- привести новую формулировку, а также упрощенное и полное доказательство результатов, фактически содержащихся в статье~\cite{ZubSer:AD}, в которой использовались некоторые приемы из статей~\cite{PeizPratt},~\cite{Pratt}. Эти результаты по форме близки к неравенствам Бернштейна и Феллера, но имеют явный вид и дополняют их, практически полностью решая задачу оценки вероятностей умеренных и больших уклонений для биномиальных законов при любых значениях параметров (например, позволяют для любой квантили любого биномиального распределения указывать содержащее ее двухэлементное множество). Результаты статьи~\cite{ZubSer:AD} остались практически незамеченными, видимо, из-за того, что они представлены в трудной для восприятия форме, а их доказательства излишне громоздки и содержат существенные пробелы.

\begin{theorem} Пусть

$H(x,p)=x\ln({x}/p)+(1-x)\ln(({1-x})/({1-p}))$\kb ${\rm

sgn}\,(x)={x}/{|x|}$ при \mbox{$x\neq 0$} и ${\rm sgn}(0)=0$\kb а

монотонно возрастающие последовательности

$\{C_{n,p}(k)\}_{k=0}^n$ определяются формулами $C_{n,p}(0)=(1-p)^n,\;C_{n,p}(n)=1-p^n,$

$$

C_{n,p}(k)=\Phi\bigg({\rm sgn}\,\Big(\frac{k}{n}-p\Big) \sqrt{2nH\,\Big(\frac{k}{n},p\Big)}\,\bigg),\qquad 1\le k< n.

$$

Тогда при любом $k=0,1,\ldots,n-1$ и любом $p\in(0,1)$ справедливы неравенства

\begin{equation}

C_{n,p}(k)\le{\bP}\{X_{n,p}\le k\}\le C_{n,p}(k+1)\label{ZubSer:ADT}

\end{equation}

и равенства имеют место только при $k=0$ и $k=n-1$.

\end{theorem}

Представление о точности приведенных в теореме неравенств можно получить, если заметить, что $C_{n,p}(k)+C_{n,1-p}(n-k)=1$: тогда из соотношений

$$

\begin{array}{c}

\dss C_{n,p}(k)<{\bP}\{X_{n,p}\le k\},\\[6pt]

\dss C_{n,1-p}(n-k)<{\bP}\{X_{n,1-p}\le

n-k\}={\bP}\{X_{n,p}\ge k\}

\end{array}

$$

следует неравенство

\begin{eqnarray*}

1&=&C_{n,p}(k)+C_{n,1-p}(n-k)<{\bP}\{X_{n,p}\le k\}

+{\bP}\{X_{n,p}\ge k\}\\

&=&1+{\bP}\{X_{n,p}=k\},

\end{eqnarray*}

в котором разность между правой и левой частями равна локальной вероятности биномиального закона. Поэтому ${\bP}\{X_{n,p}\le k\}-C_{n,p}(k)<{\bP}\{X_{n,p}= k\}$.

Отношение верхних и нижних оценок для

${\bP}\{X_{n,p}\le k\}$ в~(\ref{ZubSer:ADT}) может быть большим, когда $k$ значительно меньше $np$, однако при таких значениях $k$ большими являются и отношения

${\bP}\{X_{n,p}\le k+1\}/{\bP}\{X_{n,p}\le

k\}$ оцениваемых вероятностей.

В несколько другой форме результаты \cite{ZubSer:AD} были приведены в~\cite{ZubSer:ZS}, где они использовались при выводе оценок неполных сумм биномиальных коэффициентов.

 

\begin{thebibliography}{99}

 

\bibitem{ZubSer:AD} {\it Alfers~D.\kb Dinges~H.} A normal approximation for

beta and gamma tail probabilities.~---\ Z.\ Wahrscheinlichkeitstheor.\ verw.\ Geb., 1984, v.~65, No 3, p.~399--420.

 

\bibitem{ZubSer:B} {\it Бернштейн~С.\,Н.} Возврат к вопросу о точности

предельной формулы Лапласа. --- Изв.\ АН СССР, 1943, т.~7, No~1, с.~3--14.

 

\bibitem{ZubSer:F} {\it Feller~W.} On the normal approximation to the binomial distribution.~---\ Ann.\ Math.\ Statist., 1945, v.~16, No~4, p.~319--329 (исправления: 1950, v.~21, p.~302).

 

\bibitem{ZubSer:H} {\it Hoeffding W.} Probability inequalities for sums

of bounded random variables.~---\ J.\ Amer.\ Statist.\ Assoc., 1963, v.~58, No~301, p.~13--30.

 

\bibitem{ZubSer:P} {\it Петров~В.\,В.} Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987, 317~с.

 

\bibitem{PeizPratt} {\it Peizer~D.\,B.\kb Pratt~J.\,W.} A normal approximation for binomial, $\footnotesize F$, beta and other common, related tail probabilities (part I).~---\ J.\ Amer.\ Statist.\ Assoc., 1968, No 63, p.~1416--1456.

 

\bibitem{Pratt} {\it Pratt~J.\,W.} A normal approximation for binomial, $F$, beta and other common, related tail probabilities (part II).~---\ J.\ Amer.\ Statist.\ Assoc., 1968, No 63, p.~1457--1483.

 

\bibitem{ZubSer:ZS} {\it Зубков~А.\,М.\kb Серов~А.\,А.} Оценки числа булевых функций, имеющих аффинные приближения заданной точности.~--- Дискретн.\ матем., 2010, т.~22, No~4, с.~3--19.

 

\end{thebibliography}