Регистрация / Вход
Прислать материал

Приведение линейных операторов к жордановой нормальной форме

Сведения об участнике
ФИО
Зиновьева Анастасия Сергеевна
Вуз
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ульяновский государственный педагогический университет имени И.Н. Ульянова"
Тезисы (информация о проекте)
Область наук
Математика. Механика
Раздел области наук
Математика
Тема
Приведение линейных операторов к жордановой нормальной форме
Резюме
В математике мы можем рассмотреть множество разнообразных видов и типов матриц. Особенное значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть некоторые канонические виды, к которым можно привести матрицу линейного оператора с помощью замены координат базисных векторов. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм, которой и посвящена данная работа.
Ключевые слова
матрица, жорданова нормальная форма, Жордан, жорданов базис, жорданова клетка
Цели и задачи
Целью данной научной работы является изучение способов построения жордановой нормальной формы матрицы.
Задачи работы:
- рассмотреть возможные методы построения жордановой нормальной формы матрицы операторов в конечномерном пространстве;
- рассмотреть алгоритм построения жорданового базиса;
- изучить возможности применения жордановых нормальных форм.
Введение

 

Объектом исследования являются линейные операторы и их матричное представление в различных базисах, предметом – приведение матриц к жордановой нормальной форме.

В данной работе приводится алгоритм нахождения жорданова базиса, в котором линейные операторы приводятся к жордановой нормальной форме, рассматриваются понятия алгебраической и геометрической кратности  собственных значений и их связь с количеством и размером жордановых клеток.

Приведенный теоретический материал иллюстрируется в решениях различных задач, которые представлены в приложении 1. В приложении 2 разработан элективный курс для 11 класса с углубленным изучением математики «Жорданова формы матриц и ее применение».

Методы и материалы

Методы исследования:

  • анализ
  • синтез
  • аналогия
  • индукция
  • дедукция
  • обобщение
  • классификация
  • наблюдение
  • сравнение

 

Описание и обсуждение результатов

В данной работе рассмотрены 2 способа построения жордановой формы и жорданова базиса. Доказана теорема о том, что любую матрицу можно привести в поле P к жордановой нормальной форме. 

  • Даны определения жордановой матрицы, жордановой клетки и жорданова базиса.
  • Рассмотрены алгоритмы нахождения жорданова базиса для одной жордановой клетки и для матрицы третьего порядка.
  •  Построены жордановы базисы, жордановы и трансформирующие матрицы.
  •  Сформулирована и доказана теорема о приведении матрицы к жордановой нормальной форме.

Задачи на жордановы нормальные формы, решенные самостоятельно  при помощи теории, изложенной в работе, представлены в приложении А.

В приложении В разработаны методические материалы для проведения элективного курса «Жорданова форма матриц и их применение». В данном элективном курсе рассмотрены два раздела: «Определители и матрицы» и «Жорданова форма матриц». В первом разделе рассматриваются матрицы, определители, обратные матрицы и применение их в решении прикладных задач, а второй раздел включает в себя следующие темы: собственные векторы и собственные значения, матрицы и операторы, высота матрицы и приведение к Жордановой форме матриц.

По материалам данной научной работы публикована научная статья: Глухова Н.В., Зиновьева А.С. Применение интерактивных форм обучения при изучении элективных курсов на примере темы «Матрицы» // Поволжский педагогический поиск. – 2015. –№2(12). – с.43 – 46.

Используемые источники
1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Физматлит, 2004. – 559 с.
2. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – 5-е изд. – М.: Наука. – 1998. – 272 с.
3. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1985. 392 c.
4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 2. Основы алгебры: Учебник для вузов. – М.: Физико-математическая литература, 2001. – 368с.
5. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993. – 287 с.
6. Курош А.Г. Курс выcшей алгебры. – М.: Наука, 1986. – 431 с.
7. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. – СПб.:Лань, 2006. – 319 с.
8. Проcкуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Юнимедиастайл, 2002. 475 с.
9. Руководство к решению задач по алгебре. Часть 2. Жорданова форма матрицы и жорданов базис / Удоденко Н.Н., Глумакова Т.Н., Воронеж: ВГУ, 2003. – 43 с.
Information about the project
Surname Name
Zinoveva Anastasiya
Project title
Linear operators reduction to Jordan normal form
Summary of the project
In mathematics we can analyze a lot of different types of matrices. In matrix theory normal forms take a special place. Some of them are canonical, such as matrix reduction through basis vectors coordinate substitution. The most theoretically important and sophisticated is a theory of Jordan normal forms. This publication is dedicated to it.
Keywords
matrix, Jordan normal form, Jordan, Jordan basis, Jordan block