Регистрация / Вход
Прислать материал

Ориентация спутника посредством токовых катушек. Плоская задача.

Сведения об участнике
ФИО
Мухаметшин Руслан Муратович
Вуз
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования национальный исследовательский университет «Московский авиационный институт»
Тезисы (информация о проекте)
Область наук
Математика. Механика
Раздел области наук
Механика
Тема
Ориентация спутника посредством токовых катушек. Плоская задача.
Резюме
В данной работе рассматривается управление спутником посредством токовых катушек. Здесь дифференциальные уравнения движения спутника в плоскости круговой орбиты при кусочно-постоянном управлении сведены к задаче линейной алгебры с помощью алгоритма линеаризации. Разработана программа, строящая множество управлений и оптимизирующая их по энергопотреблению. Была создана анимация, показывающая работу программы.
Ключевые слова
СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ, МНОЖЕСТВО УПРАВЛЕНИЙ, СЛУЧАЙНЫЙ ПОИСК, ТОКОВЫЕ КАТУШКИ
Цели и задачи
Разработать управление, которое должно обеспечивать переход спутника из произвольного положения в заданное за конечный промежуток времени. Иными словами, управление должно обеспечивать переход из произвольной точки на фазовой плоскости в ноль. В случае неоднозначности управления – провести анализ управлений по быстродействию и точности с учетом ограниченности управляющих моментов.
Введение

Для спутников с коротким временем функционирования  для «сброса» накопленного исполнительными органами кинетического момента  обычно используются газореактивные системы. На спутниках с продолжительным временем функционирования  с этой целью выгодно  использовать  токовые катушки. Попытки отказаться от маховиков и возложить на магнитную систему непрерывное управление ориентацией упирались в отсутствие алгоритма управления токами в катушках. Основная трудность построения закона управления кроется в неполной  локальной управляемости. С помощью магнитного момента, создаваемого катушками, можно получить механический момент, действующий на спутник. Однако этот момент всегда перпендикулярен вектору силовой линии магнитного поля Земли.

Методы и материалы

В работе использовалась проекция гравитационного момента на ось Оу связанной с телом системы координат

\(M_y = {{3 *\gamma*M \over R^3}*(A-C)*a_{33}*a_{31}}\)

Уравнение плоских малых колебаний на круговой орбите

\({\frac{\mathrm d^2 \theta }{\mathrm d x^2} +3*\omega^2*{(A-C)\over B}*\theta} = {M_{upr}}\)

 «ode45» предназначена для численного интегрирования систем ОДУ. Они применимы как для решения простых дифференциальных уравнений, так и для моделирования сложных динамических систем.

Любая система нелинейных ОДУ может быть представлена как система дифференциальных уравнений 1-го порядка в явной форме Коши:

\({\frac{\mathrm d x }{\mathrm d t} } = f(x,t)\)

где x - вектор состояния;
      t - время;
      f - нелинейная вектор-функция от переменных x, t.

Функции [t, X] = ode23(‘<имя функции>‘, t0, tf, x0, tol, trace) и [t, X] = = ode45(‘<имя функции>‘, t0, tf, x0, tol, trace) интегрируют системы ОДУ, используя формулы Рунге - Кутты соответственно 2-го и 3-го или 4-го и 5-го порядка.

 «null(А)» строит ортонормированный базис нуль-пространства матрицы А, полученной из разложения по сингулярным членам матрицы. То есть,  для Z=null(A), A*Z даёт достаточно малые величины.

«null(A,'r')» строит «рациональный» базис нуль пространства полученный из матрицы ступенчатого вида.

Уравнение движения в программе использовалось в виде системы двух уравнений первого порядка:

Где I магнитные моменты катушек, f(t), матрица А умноженная на вектор У – это однородное решение ДУ.

Описание и обсуждение результатов

В работе использовалась проекция гравитационного момента на ось Оу связанной с телом системы координат

\(M_y = {{3 *\gamma*M \over R^3}*(A-C)*a_{33}*a_{31}}\)

Затем были получены уравнения плоских малых колебаний на круговой орбите с учётом управляющего момента

\({\frac{\mathrm d^2 \theta }{\mathrm d x^2} +3*\omega^2*{(A-C)\over B}*\theta} = {M_{upr}}\)

Где \(М_{upr} = I\times B\) – управляющий момент, I – магнитный момент катушек, В – вектор магнитной индукции.

В результате данные уравнения принимают следующий вид

\(\begin{cases} {\frac{\mathrm d y_1 }{\mathrm d t} = a_{11}*y_1+a_{12}*y_2+\sum_{k=1}^N(I_{k1}*f_{11}(t)) + I_{k2}*f_{12}(t))} & \quad\\ {\frac{\mathrm d y_2 }{\mathrm d t} = a_{21}*y_1+a_{22}*y_2+\sum_{k=1}^N(I_{k1}*f_{21}(t)) + I_{k2}*f_{22}(t))} & \quad\\ \end{cases} \)

Где I магнитные моменты катушек, f(t, матрица А умноженная на вектор У – это однородное решение ДУ.

Для решения в  MATLAB уравнения представлены в матричном  виде

\(A*X=B\), где Х требуемое управление

\(Z=null(A')\)

\(X=Z*C+A^T/B\)

где «\» означает нахождение частного решения. С – это случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами 0 и 1 или равномерное распределение от -1 до 1.

Был построен цикл для оптимизации коэффициентов управления и подбора оптимального распределения. На графике представлен результат работы программы для оптимального и неоптимального управлений.

Используемые источники
1. Айзерман М. А. Классическая механика. Наука 1980г.
2. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. Наука, 1965г.
3. Бутенин Н. В, Лунц Я. Л, Меркин Д.Р. Курс теоретической механики, т.2 динамика. Наука. 1979г.
4. Маркеев А. П. Теоретическая механика. Ижевская республиканская типография 1999г.
5. Овчинников М. Ю., Пеньков В.И., Ролдугин Д.С., Трехосная магнитная система ориентации космического аппарата в инерциальном пространстве // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2013, № 74, 24 с. http://www.keldysh.ru/papers/2013/prep2013_74_rus.pdf
Information about the project
Surname Name
Mukhametshin Ruslan Muratovich
Project title
Satellite's attitude control by magnetic plugs. Two-dimensional problem
Summary of the project
Develop control, which shoud jumping sattelite from random position to precalculated one за finite time. In other words, control shoud должно collateralize jumping from random position on phase plane towards null. In case of control multiplicity make analysis of controls up to speed-in-action and accuracy with provision for limitedness of driving moment.
Keywords
FLIGHT CONTROL, CONTROL SET, RANDOM SEARCHING, MAGNETIC PLUGS