Прислать материал
Ориентация спутника посредством токовых катушек. Плоская задача.
Для спутников с коротким временем функционирования для «сброса» накопленного исполнительными органами кинетического момента обычно используются газореактивные системы. На спутниках с продолжительным временем функционирования с этой целью выгодно использовать токовые катушки. Попытки отказаться от маховиков и возложить на магнитную систему непрерывное управление ориентацией упирались в отсутствие алгоритма управления токами в катушках. Основная трудность построения закона управления кроется в неполной локальной управляемости. С помощью магнитного момента, создаваемого катушками, можно получить механический момент, действующий на спутник. Однако этот момент всегда перпендикулярен вектору силовой линии магнитного поля Земли.
В работе использовалась проекция гравитационного момента на ось Оу связанной с телом системы координат
\(M_y = {{3 *\gamma*M \over R^3}*(A-C)*a_{33}*a_{31}}\)
Уравнение плоских малых колебаний на круговой орбите
\({\frac{\mathrm d^2 \theta }{\mathrm d x^2} +3*\omega^2*{(A-C)\over B}*\theta} = {M_{upr}}\)
«ode45» предназначена для численного интегрирования систем ОДУ. Они применимы как для решения простых дифференциальных уравнений, так и для моделирования сложных динамических систем.
Любая система нелинейных ОДУ может быть представлена как система дифференциальных уравнений 1-го порядка в явной форме Коши:
\({\frac{\mathrm d x }{\mathrm d t} } = f(x,t)\)
где x - вектор состояния;
t - время;
f - нелинейная вектор-функция от переменных x, t.
Функции [t, X] = ode23(‘‘, t0, tf, x0, tol, trace) и [t, X] = = ode45(‘‘, t0, tf, x0, tol, trace) интегрируют системы ОДУ, используя формулы Рунге - Кутты соответственно 2-го и 3-го или 4-го и 5-го порядка.
«null(А)» строит ортонормированный базис нуль-пространства матрицы А, полученной из разложения по сингулярным членам матрицы. То есть, для Z=null(A), A*Z даёт достаточно малые величины.
«null(A,'r')» строит «рациональный» базис нуль пространства полученный из матрицы ступенчатого вида.
Уравнение движения в программе использовалось в виде системы двух уравнений первого порядка:
Где I магнитные моменты катушек, f(t), матрица А умноженная на вектор У – это однородное решение ДУ.
В работе использовалась проекция гравитационного момента на ось Оу связанной с телом системы координат
\(M_y = {{3 *\gamma*M \over R^3}*(A-C)*a_{33}*a_{31}}\)
Затем были получены уравнения плоских малых колебаний на круговой орбите с учётом управляющего момента
\({\frac{\mathrm d^2 \theta }{\mathrm d x^2} +3*\omega^2*{(A-C)\over B}*\theta} = {M_{upr}}\)
Где \(М_{upr} = I\times B\) – управляющий момент, I – магнитный момент катушек, В – вектор магнитной индукции.
В результате данные уравнения принимают следующий вид
\(\begin{cases} {\frac{\mathrm d y_1 }{\mathrm d t} = a_{11}*y_1+a_{12}*y_2+\sum_{k=1}^N(I_{k1}*f_{11}(t)) + I_{k2}*f_{12}(t))} & \quad\\ {\frac{\mathrm d y_2 }{\mathrm d t} = a_{21}*y_1+a_{22}*y_2+\sum_{k=1}^N(I_{k1}*f_{21}(t)) + I_{k2}*f_{22}(t))} & \quad\\ \end{cases} \)
Где I магнитные моменты катушек, f(t) , матрица А умноженная на вектор У – это однородное решение ДУ.
Для решения в MATLAB уравнения представлены в матричном виде
\(A*X=B\), где Х требуемое управление
\(Z=null(A')\)
\(X=Z*C+A^T/B\)
где «\» означает нахождение частного решения. С – это случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами 0 и 1 или равномерное распределение от -1 до 1.
Был построен цикл для оптимизации коэффициентов управления и подбора оптимального распределения. На графике представлен результат работы программы для оптимального и неоптимального управлений.
2. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. Наука, 1965г.
3. Бутенин Н. В, Лунц Я. Л, Меркин Д.Р. Курс теоретической механики, т.2 динамика. Наука. 1979г.
4. Маркеев А. П. Теоретическая механика. Ижевская республиканская типография 1999г.
5. Овчинников М. Ю., Пеньков В.И., Ролдугин Д.С., Трехосная магнитная система ориентации космического аппарата в инерциальном пространстве // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2013, № 74, 24 с. http://www.keldysh.ru/papers/2013/prep2013_74_rus.pdf