Регистрация / Вход
Прислать материал

Оптимальное управление для уравнения теплопроводности с фазовыми ограничениями в виде равенства и неравенства

Сведения об участнике
ФИО
Демин Андрей Вячеславович
Вуз
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»
Тезисы (информация о проекте)
Область наук
Математика. Механика
Раздел области наук
Математика
Тема
Оптимальное управление для уравнения теплопроводности с фазовыми ограничениями в виде равенства и неравенства
Резюме
Настоящая работа посвящена изучению оптимального управления процессами теплопроводности при наличии фазовых ограничений в виде равенства и неравенства. Задача оптимального управления для таких задач хорошо изучена, но фазовые ограничения представляют большую трудность для получения как аналитического, так и численного решения. В первую очередь это связано с появлением неопределенных мер в сопряженной системе и функции Гамильтона-Понтрягина. Кроме того, программное оптимальное управление, как правило, является неустойчивым относительно внешних помех и погрешности вычислений, что приводит к нарушению фазового ограничения.
Ключевые слова
Оптимальное управление для уравнения теплопроводности с фазовыми ограничениями
Цели и задачи
1. Обоснование способа учета фазовых ограничений в виде равенства и неравенства в задачах оптимального управления процессом теплопроводности с помощью обратной связи;
2. Аналитическое исследование и численное решение ряда задач оптимального управления процессом теплопроводности с учетом фазовых ограничений;
3. Создание программного обеспечения для поддержки этого решения.
Введение

Задача оптимального управления процессами теплопроводности хорошо изучена, но фазовые ограничения представляют большую трудность для получения как аналитического, так и численного решения. В первую очередь это связано с появлением неопределенных мер в сопряженной системе и функции Гамильтона-Понтрягина. Кроме того, программное оптимальное управление, как правило, является неустойчивым относительно внешних помех и погрешности вычислений, что приводит к нарушению фазового ограничения.

В настоящей работе предлагается другой способ учета фазовых ограничений в виде равенства и неравенства с помощью обратной связи на основе билинейного операторного управления.

Методы и материалы

При неточной аппроксимации задачи, при малых возмущениях и из-за внешних помех фазовое ограничение часто не выполняется, поэтому наиболее эффективным в задачах оптимального управления является использование управления с обратной связью. Такой тип управления более помехозащищен по сравнению с программируемым управлением. Практическая целесообразность приводит в этом случае к естественному изменению ограничения на ресурс управления: ограничивается не абсолютная величина мощности воздействия, а коэффициент обратной связи. Обратная связь успешно строится на основе билинейных или квадратичных управлений, интегро-дифференциальных управлений.

Среди всех численных методов решения задач оптимального управления для объектов с распределенными параметрами наиболее распространены методы, построенные на основе конечномерной аппроксимации управляемой системы посредством разложения соответствующих функций в ряд Фурье. К ним относятся широко известный метод моментов А.Г. Бутковского, финитного управления и др. Отличаются они друг от друга способом решения получаемых аппроксимирующих задач. В.И.Плотниковым для этой цели был использован принцип максимума Л.С. Понтрягина при определении наискорейшего режима нагрева твердого тела до заданной температуры.

Описание и обсуждение результатов

Для рассмотренных задач были разработаны численные методы на основе метода моментов. Для поддержки решения представленных алгоритмов на языке C++ было реализовано программное обеспечение, представленное на рис.1, результатом которого являются значение функционала и графики температурного распределения стержня при заданных начальных условиях в любой интересующий нас момент времени. Полученные 3D и 2D графики приведены в Приложении.

На них показано распределение тепла стержня во времени при оптимальном управление: \(z(x,t)= \sum \limits_{n=0}^M \frac{\xi_n(T)}{ \sum \limits_{i=0}^M \xi_i(T)} \, \upsilon_n.\) Нумерация собственных функций и коэффициентов Фурье начиналась с нуля. Пронумеруем задачи по мере их рассмотрения в данной работе: 1) Управление в виде общего интегрального оператора, 2) Оператор свертки, 3) Билинейное управление, 4) Управление с фазовым ограничением в виде неравенства.

1) Полагалось \( l = 10,\ T = 12, \ c = 1\). Для приближенного решения учитывались четыре первых члена разложения в ряд Фурье (начиная с нулевого). Задача состояла в оптимальном выделении третьей гармоники - наибольшему приближению решения к функции \(\upsilon_3=\cos(3\pi x/10)\). Начальное распределение определялось следующими коэффициентами Фурье: \(\varphi_0 = 0.25,\ \varphi_1 = 0.25,\ \varphi_2 = 0.25,\ \varphi_3 = 0.25\).
Графики температурного распределения, изменяющегося во времени, отвечающего оптимальному управлению трех первых задач, приведены на рис. 1, 2, 3 соответственно.

 

2) Полагалось \( l = 10,\ T = 10,\ c = 1\). Для приближенного решения учитывались семь первых члена разложения в ряд Фурье (начиная с нулевого). Задача состояла в оптимальном выделении второй гармоники - наибольшему приближению решения к функции \(\upsilon_2=\cos(2\pi x/10)\). Начальное распределение определялось следующими коэффициентами Фурье: \(\varphi_0 = \varphi_1 = \varphi_2 =\varphi_3 =\varphi_4=\varphi_5=\varphi_6 = 0.1\).
Графики температурного распределения, изменяющегося во времени, отвечающего оптимальному управлению для задачи 4, приведены на рис. 4.

 

Из полученных графиков видно, что распределение температуры за время T достигает требуемого во всех рассматриваемых задачах. Кроме того, для полученных распределений выполнено фазовое ограничение \(z(0,t)=1\): температура на левом конце стержня равна 1. Можно заметить, что тепловые потоки через границы отсутствуют.

Из первых трех задач можно выделить оптимальное билинейное управление с обратной связью. Графики его температурного распределения показывают наиболее быстрое приближение к заданной гармонике, чем в задачах 1 и 2. Оптимального управление в виде общего интегрального оператора дает лучше результат, чем у оператора свертки.

 

Используемые источники
Плотников В.И. О сходимости конечномерных приближений (в задаче об оптимальном нагреве неоднородного твердого тела произвольной формы) // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. Т. 8, № 1. С. 136-157.

O.A.Kuzenkov, A.V.Novozhenin. Optimal control of measure dynamics // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Numerical Computations: Theory and Algorithms (NUMTA 2013), International Conference and Summer School. 2015, Vol. 21, Iss. 1-3, pp. 159-171.

Кузенков О.А., Шашков В.M. Оптимальное управление линейными распределенными системами: уравнения теплопроводности: Учебное пособие.- Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 1996. - 91 с.

A. Smyshlyaev, M. Krstic. Backstepping observers for a class of parabolic PDEs. J. Systems and Control Letters. 2005. Vol. 54, Iss. 7, pp. 613-625.
Information about the project
Surname Name
Demin Andrey
Project title
Optimal control for the equation heat conduction with state constraints
Summary of the project
In this paper we propose a method of the account of state constraints in the form of equality and inequality by using feedback based on the bilinear operator control. We consider different cases of the control: in General, in the form of a convolution operator, bilinear optimal control. It is shown that the use of such control allows greater stability of the solution against errors in computation.
Keywords
Optimal control for the equation heat conduction with state constraints