Регистрация / Вход
Прислать материал

Вариационный подход к решению обратных задач для математической модели динамики ВИЧ-инфекции с лечением

Сведения об участнике
ФИО
Ермоленко Дарья Владимировна
Вуз
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет»
Тезисы (информация о проекте)
Область наук
Математика. Механика
Раздел области наук
Математика
Тема
Вариационный подход к решению обратных задач для математической модели динамики ВИЧ-инфекции с лечением
Резюме
В работе численно исследована задача уточнения параметров ВИЧ-инфекции и иммунного ответа по дополнительным измерениям концентраций Т-лимфоцитов, свободного вируса и иммунных эффекторов в фиксированные моменты времени для математической модели динамики ВИЧ. Обратная задача уточнения параметров модели сводится к задаче минимизации целевого функционала, описывающего отклонение данных моделирования от экспериментальных. Реализован и исследован генетический алгоритм решения задачи минимизации функционала в смысле наименьших квадратов. При уточненных параметрах модели численно исследована генетическим алгоритмом оптимизационная задача определения оптимального лечения.
Ключевые слова
Математическая модель динамики ВИЧ-инфекции, задача уточнения параметров, оптимальный контроль лечения, обратная задача, оптимизационный подход, генетический алгоритм
Цели и задачи
Целью данной работы является построение и исследование численного алгоритма для определения коэффициентов нелинейной системы, описывающей динамику ВИЧ-инфекции с лечением, используя дополнительную информацию о концентрациях Т-лимфоцитов, свободного вируса и иммунных эффекторов в фиксированные моменты времени. По найденным характеристикам иммунного ответа необходимо численно проанализировать оптимальные программы лечения заболевания.
Введение

Большинство иммунологических процессов, происходящих в нашем организме, описываются системами нелинейных дифференциальных уравнений. Данные системы, характеризуются своими параметрами, которые описывают особенности заболевания и иммунной системы человека. Необходимо уметь определять данные параметры для составления индивидуального плана лечения. В работе рассмотрена математическая модель динамики ВИЧ, содержащая параметры, характеризуюшие иммунитет пациента. Эти параметры индивидуальны для каждого человека и нуждаются в уточнении. Первым делом нужно определить индивидуальные особенности пациента. Затем по найденным характеристикам иммунного ответа можно определить оптимальное лечение, подходящее конкретному пациенту.

Методы и материалы

В работе исследована математическая модель динамики ВИЧ-инфекции, которая может быть записана в векторном виде:

 \(\dot{U}(t)=F(t;p), U(t_0)=U_0\)                 (1)

где \(U(t)\)- вектор переменных системы, \(p\)- вектор параметров, характеризующий особенности заболевания и иммунитета пациента.

Пусть в фиксированные моменты времени из анализов получены концентрации \(U(t)\)

\(U(t_k)=\Phi_k, k=1,\ldots,K\)                    (2)

Обратная задача заключается в определении вектора параметров \(p\)по известным начальным данным \(U_0\) и дополнительной информации вида (2). Решение обратной задачи (1)-(2) будем искать минимизируя целевой функционал вида:

\(J_1(p)=\sum_{k=1}^{K} {| U(t_k;p)-\Phi_k |}^2\)              (3)

Минимизируя функционал (3), мы минимизируем отклонение модельных данных от данных измерений (2).

После того как параметры \(p\)определены, необходимо рассмотреть математическую модель (1) с лечением:

\(\dot{U}(t)=F(t;p,\varepsilon(t)), U(t_0)=U_0\)             (4)

где \(\varepsilon(t)\) - функция лечения. 

Наша задача – полагая параметры \(p\)известными, определить функцию оптимального контроля лечения \(\varepsilon(t)\). Данная задача сводится к задаче минимизации целевого функционала,вида:

\(J_2(\varepsilon)=\int_0^T{RV(t)+Q\varepsilon^2(t)}dt\)               (5)

где R, Q - весовые параметры, V(t) - вирусная нагрузка в организме.

Минимизируя функционал (5), мы минимизируем вирусную нагрузку в организме и затраты на лечение.

Для численного решения обратных задач был использован генетический алгоритм.

Описание и обсуждение результатов

В работе численно исследована задача уточнения параметров ВИЧ-инфекции и иммунного ответа по дополнительным измерениям концентраций Т-лимфоцитов, свободного вируса и иммунных эффекторов в фиксированные моменты времени для математической модели динамики ВИЧ. Для данной модели исследованы физические стационарные состояния. Два из них устойчивы, два - нет. Исходя из этого выбраны начальные условия модели. Задача уточнения параметров математической модели без лечения (обратная задача) сводится к задаче минимизации целевого функционала, описывающего отклонение данных моделирования от экспериментальных данных. Реализован и исследован генетический алгоритм решения задачи минимизации функционала в смысле наименьших квадратов. С помощью данного метода получены индивидуальные параметры пациента. Два параметра модели определены достаточно точно, а два других имеют относительную ошибку 10%. Численно показано, что полученная величина относительной ошибки определения параметров модели достаточно мала, чтобы получить модель, хорошо согласующуюся с измерениями.  После того как параметры определены, была рассмотрена задача определения оптимального контроля лечения. Для определения оптимального лечения, в математическую модель динамики ВИЧ-инфекции было введено лечение в виде кусочно-постоянной функции. Тогда обратная задача определения лечения - это задача определения кусочно-постоянной функции лечения по известным параметрам модели и начальным данным. Также как и в предыдущем случае, данная задача была сведена к задаче минимизации функционала, минимизируя который, мы минимизируем вирусную нагрузку в организме и затраты на лечение. Для численного решения задачи оптимального контроля лечения применен стохастический метод (генетический алгоритм). С помощью данного метода получена кусочно-постоянная функция лечения. Показано, что полученное лечение является оптимальным.

Используемые источники
1. A.S. Perelson, P.W. Nelson. Mathematical Analysis of HIV-I: Dynamics in Vivo. SIAM Rev., 1999. Vol. 41, No.1, pp. 3-44.
2. B.M. Adams, H.T. Banks, Hee-Dae Kwon, H.T. Tran, S.N. Wynne, E.S. Rosenberg. HIV dynamics: Modeling, data analysis, and optimal treatment protocols. // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2005. Vol. 184. pp. 10-49.
3. G. Bocharov, A. Kim, A. Krasovskii, V. Chereshnev, V. Glushenkova, A. Ivanov. An extremal shift method for control of HIV infection dynamics. // Russ. J. Numer. Anal.
Math. Modelling. 2015. Vol. 30. No. 1. pp. 11-25.
4. D.S. Callaway, A.S. Perelson. HIV-I infection and low steady state viral loads. // Bull. Math. Biol. 2001. Vol. 64. pp. 29-64.
5. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009.

Information about the project
Surname Name
Yermolenko Darya
Project title
A variational approach for solving inverse problems in the mathematical model of HIV-dynamics
Summary of the project
In this work, parameters identification problem for mathematical problem of HIV-dynamics by additional measurements of concentrations of T-lymphocytes, free virus and immune effectors in fixed times is numerically investigated. The inverse problem of parameters identification is reduced to minimization of the misfit function, which describes the deviation of the modeling data from experimental data. Besides, in this studies genetic algorithm is implemented for solving the problem of minimizing the least square functional and determining the optimal treatment for known parameters of the optimization model.
Keywords
Mathematical model of HIV-dynamics, parameters identification problem, optimal treatment control, inverse problem, optimization approach, genetic algorithm