Регистрация / Вход
Прислать материал

Свойство периодичности свертки Лапласа

Сведения об участнике
ФИО
Малютина Мария Вячеславовна
Вуз
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Иркутский государственный университет"
Тезисы (информация о проекте)
Область наук
Математика. Механика
Раздел области наук
Математика
Тема
Свойство периодичности свертки Лапласа
Резюме
В работе изучается проблема периодичности свертки Лапласа непрерывных функций. Рассмотрены три случая: свертка непрерывной на полуоси функции со степенной функцией, экспонентой и синусом. Доказаны критерии периодичности этих сверток, указаны возможные значения основных периодов, изучена структура сверток. Результаты обобщены на случай свертки Лапласа непрерывных функций, когда одна из них является фундаментальным решением линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. В качестве приложений построены периодические решения линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода типа свертки со степенным, экспоненциальным и синусоидальным ядрами.
Ключевые слова
интегральное уравнение Вольтерра, свертка Лапласа, периодическая функция, основной период
Цели и задачи
Цель представляемой научной работы состоит в создании теоретической и методологической основы для исследования вопросов существования и построения периодических решений интегральных уравнений Вольтерра типа свертки. Первоочередной проблемой, которая возникает в этом направлении, является проблема периодичности свертки Лапласа непрерывных функций. В данной работе она решена для нескольких важных частных случаев свертки Лапласа непрерывной на полуоси функции с основными элементарными функциями: степенной функцией, экспонентой и синусом. Предприняты попытки обобщить полученные результаты. Основными задачами проекта являются:
1) установить необходимые и достаточные условия, при которых рассматриваемые свертки Лапласа являются периодическими функциями;
2) указать их основной период;
3) изучить структуру сверток;
4) применить полученные результаты к построению периодических решений интегральных уравнений Вольтерра.
Введение

В настоящее время проблема существования периодических решений интегральных уравнений Вольтерра недостаточно изучена даже в линейном случае. В основном имеющиеся немногочисленные работы посвящены перенесению на эти объекты методов исследования из теории периодических решений дифференциальных уравнений (см., например [1-10]). Между тем интегральные уравнения имеют ряд специфических особенностей, которые естественным образом проявляются при исследовании поставленной проблемы, и в данной работе предпринята попытка понять, как именно это происходит и к чему приводит. Первым шагом в данном направлении проводится подробный анализ свойства периодичности интегрального выражения, в частности, свертки Лапласа непрерывных функций.

Методы и материалы

Для решения поставленных задач используются методы математического и функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Описание и обсуждение результатов

Рассмотрены свертки Лапласа \(F_{n}(x)=\frac{1}{(n-1)!}\int\limits_{0}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)dt\)\(F_{e}(x)=\int\limits_{0}^{x}e^{x-t}f(t)dt\)\(F_{s}(x)=\int\limits_{0}^{x}\sin(x-t)f(t)dt\). Показано, что необходимым условием их периодичности является периодичность с тем же периодом функции \(f(x)\in C(x\geq0)\). На основании этого, доказаны критерии периодичности сверток. Одним из наиболее интересных является факт, что при условии соизмеримости (но не кратности!) основного периода \(T\) функции \(y=f(x)\) с \(2\pi\)  свертка \(y=F_{s}(x)\) периодична всегда. Указаны возможные значения основных периодов сверток. Результаты обобщены на случай \(S(x)=\int\limits_{0}^{x}{\mathcal E}_{N}(x-t)f(t)dt\), где \({\mathcal E}_{N}(x)\) – фундаментальное решение дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Изучена структура рассматриваемых сверток в предположении периодичности функции \(y=f(x)\), что затем позволило доказать следующие теоремы.

Теорема 3.1. Уравнение

\(\int\limits_{0}^{t}(t-s)^{n-1}\varphi(s)ds=f(t)\)

имеет единственное непрерывное на всей числовой прямой \(T\)-периодическое решение

\(\varphi(t)=\frac{{\mathcal E}^{(n)}(t)+A_{n}}{n!}\)

тогда и только тогда, когда правая часть этого уравнения представима в виде

\(f(t)=\sum\limits_{i=1}^{n+1}\frac{A_{i-1}t^{i-1}}{(i-1)!}+{\mathcal E}(t)\),

где \({\mathcal E}(t)\in C^{n}({\mathbb R})\) \(T\)-периодическая функция, \({\mathcal E}^{(i)}(0)=-A_{i}\), \(i=0,\,\ldots\,,n\).

Теорема 3.2. Уравнение

\(\int\limits_{0}^{t}e^{t-s}\varphi(s)ds=f(t)\)

имеет единственное непрерывное на всей числовой прямой \(T\)-периодическое решение

\(\varphi(t)={\mathcal E}'(t)-{\mathcal E}(t)\)

тогда и только тогда, когда правая часть этого уравнения представима в виде

\(f(t)=Ce^{t}+{\mathcal E}(t)\),

где \({\mathcal E}(t)\in C^{1}({\mathbb R})\) – \(T\)-периодическая функция, \({\mathcal E}(0)=-C\).

Теорема 3.3. Уравнение

\(\int\limits_{0}^{t}\sin(t-s)\varphi(s)ds=f(t)\)

имеет единственное непрерывное на всей числовой прямой \(T\)-периодическое решение

\(\varphi(t)={\mathcal E}''(t)+{\mathcal E}(t)\)

тогда и только тогда, когда правая часть этого уравнения представима в виде

\(f(t)=A\cos x+B\sin x+{\mathcal E}(t)\),

где \({\mathcal E}(t)\in C^{2}({\mathbb R})\) – \(T\)-периодическая функция, причем \(T\neq2\pi n\), \(n\in{\mathbb N}\), и \({\mathcal E}(0)=-A\)\({\mathcal E}'(0)=-B\).

Таким образом, проблема периодичности свертки Лапласа, которая естественным образом связана с задачей о построении периодических решений интегральных уравнений, в данной работе решена для некоторых частных случаев. При этом, как уже удалось понять, предложенные идеи и подходы вполне применимы к доказательствам и более общих теорем, что является предметом настоящих и будущих исследований автора.

Используемые источники
1. Боташев А.И., Талипова Л.А. // Изв. АН Кирг. ССР. 1974. Вып.1. С.8–11.
2. Быков Я.В. О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений. Фрунзе: Главиздат мин. культ. Кирг. ССР. 1957.
3. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1982.
4. Пуляев В.Ф., Цалюк З.Б. // Дифференц. уравнения. 1974. Т.10, №6. C.1103–1110.
5. Burton T.A., Furumochi T. // Funkcial. Elvac. 1996. Vol.39. P.87–107.
6. Butris R.N., Fars B.S. // Gen. Math. Notes. 2014. Vol.21, No.1. P.137–156.
7. Cromer T.L. // J. Math. Anal. Appl. 1985. Vol.110. P.483–494.
8. Cushing J.M. // Lecture Notes in Mathematics. 2006. Vol.737. P.50–66.
9. Islam M.N. // Internat. J. Math. & Math. Sci. 1988. Vol.11, No.4. P.781–792.
10. Nussbaum R.D. // SIAM J. Math. Anal. 1978. Vol.9. P.356–376.
Information about the project
Surname Name
Maliutina Mariia
Project title
Periodicity of the Laplace convolution
Summary of the project
We study the problem of the periodicity of the Laplace convolution of continuous functions. We consider three cases: the convolution of continuous function on the semi-axis with an power function, exponent and sine. The criterions of periodicity of these convolutions were proved, the possible values of the main periods were found and structure of convolutions were studied. The results are generalized on the case of the Laplace convolution of continuous functions, when one of them is a fundamental solution of the linear differential operator with constant coefficients. Periodic solutions of linear integral Volterra equations of the first kind were constructed in the cases of power, exponential and sinusoidal kernels.
Keywords
Volterra integral equation, Laplace convolution, periodic function, basic period