Регистрация / Вход
Прислать материал

Модификации численных методов решения параболического волнового уравнения

Сведения об участнике
ФИО
Колединцева Марина Алексеевна
Вуз
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники"
Тезисы (информация о проекте)
Область наук
Машиностроение. Энергетика
Раздел области наук
Приборостроение. Радиотехника и электроника
Тема
Модификации численных методов решения параболического волнового уравнения
Резюме
Предложен способ повышения точности расчета поля с использованием симметричных разностных схем и быстрого преобразования Фурье.
Проведена оптимизация традиционной схемы Кранка-Николсон и пятиточечной симметричной разностной схемы путем задания весовых коэффициентов, обеспечивающих минимум СКО расчета поля.
Предлагается простой способ вычисления коэффициентов передачи гармоник ряда Фурье. Проведено сравнение с результатами тестовых расчетов, показавшее, что при распространении волн в широком секторе углов возможно уменьшение СКО расчета даже в несколько раз почти без увеличения вычислительных затрат.
Ключевые слова
параболическое уравнение, быстрое преобразование Фурье, симметричные разностные схемы, весовые коэффициенты
Цели и задачи
Повышение точности расчета поля с использованием указанных методов за счет выбора весовых коэффициентов для симметричных разностных схем первого и второго порядков и коэффициентов передачи ряда гармоник Фурье, отличных от стандартных
Введение

В радиотехнических системах проблема прогнозирования распространения радиоволн была и остается актуальной. Цель данной — повышение точности расчета поля с использованием указанных методов за счет выбора весовых коэффициентов для симметричных разностных схем первого и второго порядков и коэффициентов передачи ряда гармоник Фурье, отличных от стандартных.

Методы и материалы

На данный момент задача вычисления значений поля при РРВ в свободном пространстве с учетом влияния поверхности Земли осуществляется двумя способами. В США предпочитают применять на каждом шаге метод прямого и обратного БПФ с промежуточным умножением гармоник ряда Фурье на квадратичный фазовый множитель.

В других случаях предпочтение отдается алгоритмам непосредственного преобразования в пространственной области, в частности достаточно эффективному методу прогонки для симметричных разностных схем (СРС) различных порядков r. При применении этого метода после задания значений поля Uj(0) в узлах сетки при x=0 последовательно находят неизвестные значения поля Uj(x+dx) во всех узлах при x=dx, 2dx, ... Для этого решается система линейных алгебраических уравнений, полученная из непрерывного ПУ переходом от дифференциальных операторов к их разностным аналогам.

Описание и обсуждение результатов

В рассмотренном методе БПФ для большинства углов, за исключением самых малых и самых больших, аппроксимация на один-два порядка точнее, чем традиционная формула.При анализе этих результатов необходимо учитывать, что мы находим наилучшее значение коэффициента передачи лишь для основной гармоники, то есть, только той плоской волны, которая подавалась на вход.

Полученное значение весового коэффициента отличается от обычного весового коэффициента лишь добавлением фиксированной действительной части. Однако с этим коэффициентом ФЧХ улучшается, при этом, как и следовало ожидать, в области малых углов ошибка уменьшается на один-два порядка.

Фазовая частотная характеристика такой оптимальной пятиточечной СРС в области больших углов несколько лучше ФЧХ схемы КН, но величина фазовых ошибок остается недопустимо большой. Несравненно большее отличие (на несколько порядков) наблюдается в области малых значений угла распространения радиоволны. Именно эти волны вносят основной вклад при формировании поля в дальней зоне передающей антенны. В этом смысле СРС имеют определенное преимущество перед методом БПФ, поскольку требуют меньших вычислительных затрат.

Используемые источники
1. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем, М: Наука», 1971.
2. Antoine X., Arnold A., Besse C., Ehrhardt M., Schadle A. A Review of Transparent and Artificial Boundary Conditions Techniques for Linear and Nonlinear Schrodinger Equations // Communications in computational physics, 2008, V. 4, No. 4. P. 729–796.
3. Акулиничев Ю.П., Колединцева М.А., Могильников А.В. Коррекция применения метода БПФ для численного решения параболического волнового уравнения // Труды XXV Всероссийской конференции по распространению радиоволн. Томск. 2016.
4. Advanced Refractive Effects Prediction System (AREPS) // Atmospheric Propagation Branch. 2005. Ver. 3.6.284 p.
5. Акулиничев Ю.П., Абрамов П.В., Ваулин И.Н. Влияние поглощающего слоя на численное решение параболического уравнения // Доклады ТУСУРа. 2007. № 2 (16). С. 139–145.
Information about the project
Surname Name
Marina Koledintseva
Project title
Modification of numerical methods for solving the parabolic wave equation
Summary of the project
A method for increasing the accuracy of calculation of the field , which has a narrow spectrum of incident waves, Fast Fourier transformusing and symmetric difference schemes was offered. There was conceived an idea to optimize the conven-tional Crank-Nicholson scheme and symmetrical five-point difference scheme by setting the weighting coeffi-cients to ensure the minimum RMS error of the field calculation.
We offer a simple way to calculate the Fourier harmonics propagation coefficients in application to numeri-cal solution of the parabolic wave equation. A comparison with the results of test calculations shows that RMS
errors of conventional method can be reduced even several times without increasing the computational cost.
Keywords
parabolic equation, fast Fourier transform, symmetric difference scheme, the weighting factors