Прислать материал
Метод условного градиента для линеаризованной системы фазового поля
1. Доказать существование и единственность решения задачи оптимального управления для системы уравнений фазового поля с начальным условием Шоуолтера с функционалом качества не учитывающим затраты на управление.
2. Построить систему оптимальности для рассматриваемой задачи оптимального управления в виде сопряженной задачи.
3. Доказать существование и единственность решения сопряженной задачи.
4. Разработать и обосновать методы численного решения для системы уравнений фазового поля.
5. Построить минимизирующую последовательность функций управления на основе метода условного градиента.
Рассматривается задача управления распределенной системой, описываемой начально-краевой задачей для квазистационарной системы уравнений фазового поля с функционалом, не учитывающим затраты на управление. Особенность системы, что рассматривается в работе, а так же новизна всей работы состоит в том, что модель описывается системой уравнений, не разрешимой относительно производной по времени. Такая система в рамках мезоскопической теории моделирует фазовые переходы первого рода. Решение данной задачи находит практическое применение в металлургии - при изготовлении сплавов, в строительстве – при изучении изменения агрегатного состояния содержащейся в ограждениях влаги при колебаниях температуры наружного воздуха, и в других областях.
Прежде всего, начально-краевые задачи для вырожденных систем уравнений относительно производной по времени не относятся ни к одному из классических типов уравнений математической физики, и потому стандартные методы для них не применимы. В данной научной работе в основу исследования положены методы теории вырожденных полугрупп операторов. Получение системы оптимальности основывается на построении сопряженной задачи, которая впоследствии используется при поиске численного решения. Численное исследование системы привело к некоторой модернизации метода условного градиента при решении задачи жесткого управления для линеаризованной системы фазового поля. Построение численной схемы ранее проводилось для упрощенного варианта уравнений фазового поля в работах [2], [3]. Настоящие результаты также посвящены исследованию вопросов устойчивости предложенных разностных схем.
\(\alpha_k^*=k^{-1}\)Пусть \(\Omega\) – ограниченная область \(\partial \Omega\) с границей класса \(C^\infty\) . Рассмотрим задачу жесткого управления для линеаризованной системы уравнений фазового поля.
\(v(x,0)=\varphi(x), \quad x \in \Omega, \quad(1)\)
\(\theta \frac{\partial v}{ \partial n}(x,t)+(1-\theta)v(x,t)=0, \quad (x,t)\in \partial \Omega \times (0,T),\quad(2)\)
\(\theta \frac{\partial w}{ \partial n}(x,t)+(1-\theta)w(x,t)=0, \quad (x,t)\in \partial \Omega \times (0,T),\quad(3)\)
\(v_t(x,t)+\varkappa w_t(x,t)=k\Delta v(x,t)+u_1(x,t), \quad x \in \Omega \times (0,T),\quad(4)\)
\(\Delta w(x,t)+\alpha w(x,t)+\beta v(x,t)+u_2(x,t)=0,\quad x\in\Omega\times (0,T),\quad(5)\)
\(\|u_1\|^2_{L_2(0,T;L_2(\Omega))}+\|u_2\|^2_{L_2(0,T;L_2(\Omega))}\leq R^2,\quad(6)\)
\(J(v,w)=\frac{1}{2}\|v-\tilde v\|^2_{L_2(0,T;L_2(\Omega))}+\frac{1}{2}\|w-\tilde w\|^2_{L_2(0,T;L_2(\Omega))} \to \inf,\quad(7)\)
где \(\theta,\varkappa,k,\alpha,\beta,R\)- константы, \(k>0, \tilde v,\tilde w \in L_2(0,T;L_2(\Omega)), (v,w)\) – искомая функция, \((u_1(x,t),u_2(x,t))\) – функция управления. Цель заключается в минимизации функционала (7) на допустимых наборах , где принадлежит множеству допустимых управлений (6). Методами теории полугрупп операторов, опираясь на работу [1] доказана теорема существования и единственности для задачи (1)-(7).
В прямоугольнике строится равномерная сетка с шагом \(h\) по пространству и шагом \(\tau\) по времени. Доказаны лемма о первом по времени и втором по пространству порядке аппроксимации разностной схемой решения задачи (1)--(5), теорема об условной устойчивости схемы при условии \(k\tau\leq\frac{h^2}{2}\) . Кроме того, в работе построена сопряженная задача, для которой доказаны аналогичные теоремы и лемма. Построен алгоритм численного поиска решения задачи управления (1)-(7) методом условного градиента, который заключается в следующих шагах.
- Выбирается начальное управление \({\bf u}_0\) и необходимые константы.
- Построение итерационной последовательности провводится по формуле \({\bf u}_{k+1}={\bf u}_k+\alpha_k(\overline {\bf u}_k-{\bf u}_k),\) где \(\alpha_k={\rm min}\{1,\alpha^{*}_k\}, \) , \(\overline{\bf u}_k\) - вспомогательное управление.
- Условие остановки заключается в проверке условия совпадения вспомогательного управления с текущим управлением.
Выполнена программная реализация, которая позволяет задавать разбиение сетки, все константы,различный выбор параметров метода условного градиента, решать начально-краевую задачу, задачу оптимального управления, моделировать решения. Проведен численный эксперимент, для которого смоделировано численное решение, представленное на следующих изображениях.
2. Омельченко, Е. А. Численное решение линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с запаздыванием / Е. А. Омельченко, М. В. Плеханова, П. Н. Давыдов // Вестник Южно-Уральского гос. ун-та. Сер.: Математика. Механика. Физика. – 2013. – Т. 5, № 2. – С. 45 – 51.
3. Плеханова М. В. Метод условного градиента для одной задачи жёсткого управления вырожденной эволюционной системой / М. В. Плеханова, Г. Д. Байбулатова, //Челябинский физико-математический журнал. Т.1, вып. 1.С. 81