Регистрация / Вход
Прислать материал

Классические и неклассические конусы в негладком анализе.

Сведения об участнике
ФИО
Друшляк Анастасия Игоревна
Вуз
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского»
Тезисы (информация о проекте)
Область наук
Математика. Механика
Раздел области наук
Математика
Тема
Классические и неклассические конусы в негладком анализе.
Резюме
В работе вводится понятие абстрактного конуса. Рассмотрены различные преобразования абстрактных конусов.
В I разделе работы приводится определение абстрактного выпуклого конуса, ряд свойств и примеров выпуклых конусов. В II разделе дается определение абстрактного невыпуклого конуса, не удовлетворяющего второму дистрибутивному закону. Рассмотрен ряд примеров. В III разделе описан способ факторизации абстрактного конуса, приводящий к выполнению закона сокращения. Наконец, в IV разделе работы вводится понятие предвыпуклого конуса, с ослабленным вторым дистрибутивным законом. Описана процедура "овыпукления", приводящая абстрактный конус к предвыпуклому.
Ключевые слова
Негладкий анализ, абстрактный конус, предвыпуклый конус, закон сокращения
Цели и задачи
1) Абстрактные выпуклые конусы. Предполагается описать важнейшие классы выпуклых конусов, которые не определяются непосредственно как подмножества линейных пространств. Будут выделены классы выпуклых конусов, удовлетворяющих закону сокращения (таких как конус выпуклых компактов), и тем самым допускающих линейное инъективное вложение в линейное пространство. Будут выделены также классы выпуклых конусов, не удовлетворяющих закону сокращения (таких как конус выпуклых незамкнутых подмножеств линейного пространства). Будут рассмотрены общие алгебраические свойства абстрактных выпуклых конусов, а также наиболее употребляемые топологии в абстрактных выпуклых конусах. Будут вкратце описаны применения таких конусов, в частности, в субдифференциальном исчислении, в решении операторных уравнений.
2) Абстрактные невыпуклые конусы. Предполагается описать важнейшие классы абстрактных конусов, не удовлетворяющих второму дистрибутивному закону - как известные в литературе, так и новые. Будет предложен метод факторизации абстрактных невыпуклых конусов, приводящий к выполнению закона сокращения. Будут рассмотрены некоторые примеры топологий в таких конусах.
3) Предвыпуклые конусы. Развитие негладкого анализа в последние десятилетия привело к проблеме такого обобщения второго дистрибутивного закона, которое позволило бы выделить обширные классы абстрактных невыпуклых конусов, в которых сохраняются важнейшие свойства выпуклых конусов. Предполагается рассмотреть ряд таких недавно возникших (условие выпуклой отделимости, условие безграничной делимости и др.), провести их сравнительный анализ и рассмотреть существенные классы примеров. Предполагается также описать методы вложения предвыпуклых конусов в выпуклые.
Таким образом, основной задачей проекта, является построение элементов общей теории абстрактных конусов, "близких" к выпуклым, с целью создать фундамент для того, чтобы методы негладкого анализа можно было применять в более широком классе фундаментальных прикладных задач.
Введение

Конусы в линейных пространствах, в особенности выпуклые конусы, давно уже вошли в разряд классических объектов исследования в современном анализе, как конечномерном, так и бесконечномерном.

Однако интерес к абстрактным выпуклым конусам появился значительно позже, в связи с теорией аппроксимации. Абстрактные конуса подмножеств линейного пространства начали исследоваться в начале 50-х годов, однако, по-видимому, появление общего формального понятия выпуклого конуса, не вложенного в линейное пространство, в конце 70-х годов прошлого века, следует связать с именем известного португальского математика Prolla J. B.[2].

Методы и материалы

Предполагается использование следующих современных математических мметодов.

1) Методы выпуклого и негладкого анализа: 

    а) общая теория классических и абстрактных конусов;

    б) имеющиеся наработки по теории невыпуклых конусов и анализу в них;

    в) субдифференциальное исчисление в конусах.

2) Методы классического линейного и нелинейного функционального анализа:

    а) теория топологических векторных пространств;

    б) бесконечномерное дифференциальное исчисление;

    в) теория генераторов полугрупп при решении операторных дифференциальных уравнений.

3) Методы теории вероятностей: теория безгранично делимых распределений и ее приложения.

Описание и обсуждение результатов

В соответствии с целями и задачами проекта предполагается:

1) Построить математическое описание современной теории классических и абстрактных выпуклых конусов, включая краткий очерк приложений, с целью создания базы как для учебно-методической, так и для научно-исследовательской работы.

2) Построить систематическое описание современной теории конусов без второго дистрибутивного закона, как алгебраической, так и топологической, включая вопрос о факторизации, приводящий к закону сокращения.

3) Описать современные методы овыпукления невыпуклых конусов с применением к негладким экстремальным задачам и негладким операторным уравнениям.

Используемые источники
[1] Becker R. Convex Cones in Analysis. // Hermann, 2006.
[2] Prolla J. B. Approximation of Veetor-valued Functions. // Norts-Holland Math. Studies, no.25,1977.
[3] Орлов И.В. Основы сублинейного анализа - 1: Субвыпуклые конусы. // Соврем. мат. Фундам. направл.-2016(в печати).
[4] Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа.//- М.: Физматлит. -2004.
Information about the project
Surname Name
Drushlyak Anastasiya
Project title
Classical and nonclassical cones in non-smooth analysis.
Summary of the project
In work the concept of the abstract cone is entered. Various transformations of the abstract cones are considered. In the I section of work definition of the abstract convex cone, a number of properties and examples of convex cones is given. In the II section definition of the abstract nonconvex cone which is not satisfying to the second distributive law is given. A number of examples is considered. In the III section the way of a factorization of the abstract cone leading to implementation of the cancellation law is described. At last, in the IV section of work the concept of a preconvex cone, with the weakened second distributive law is entered. The procedure of "convexification" leading abstract cone to preconvex.
Keywords
Non-smooth analysis, abstract cone, preconvex cone, cancellation law