Регистрация / Вход
Прислать материал

Об одном методе решения эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами

Сведения об участнике
ФИО
Арисова Ольга Григорьевна
Вуз
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Башкирский государственный университет»
Тезисы (информация о проекте)
Область наук
Математика. Механика
Раздел области наук
Механика
Тема
Об одном методе решения эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами
Резюме
В работе рассматривается класс граничных эллиптических задач с условиями сопряжения типа идеального и неидеального контакта. Выведены расчетные формулы для численного решения модифицированным методом конечных объемов. Приведены численные результаты счета программы данным методом.
Ключевые слова
граничные задачи, модифицированный метод конечных объемов, задачи с условиями сопряжения типа неидеального контакта, уравнения эллиптического типа
Цели и задачи
Целью данного проекта является разработка универсального и наиболее точного метода для решения широкого класса задач, которые имеют практическое применение.
Введение

Для описания стационарных процессов таких как: диффузии, теплообмена обычно используют уравнения эллиптического типа. В этом классе уравнений задаются краевые условия, которые делятся, в основном, на 2 типа: задачи с условиями сопряжения идеального и неидеального контакта. Эти задачи имеют большую значимость при моделировании различных процессов, но очень сложны для аналитического решения особенно в области с разрывами.   Поэтому на практике для решения данного класса задач применяются различные численные методы. В нашей работе мы рассматриваем модификацию классического метода конечных объемов для эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами. В данной схеме поток аппроксимируется со вторым порядком точности.

Методы и материалы

 В данной работе мы рассматриваем модификацию классического метода конечных объемов для краевых задач, описываемых эллиптическими уравнениями с разрывными коэффициентами.  Данный метод заключается в том, что дифференциальное уравнение записывается в интегральной форме на элементарной ячейке сетки, то есть с помощью уравнения баланса. В нашем исследовании мы предполагаем, что линии разрыва коэффициентов перпендикулярны координатным осям, но вообще говоря, не совпадают с границами ячеек сетки. Предполагаем, что нормальная составляющая потока непрерывно дифференциируема по направлению нормали к линиям разрыва (то есть поток \(W_i\) непрерывно дифференциируем по \(x_i\)). Затем заменяем производные, входящие в балансное уравнение, конечной разностью, и аппроксимируем исходный поток на сетке. В данной схеме поток аппроксимируется со вторым порядком точности.
В результате исследования в отличие от классического метода конечныз объемов, имеющего первый порядок точности, мы получаем аппроксимацию потока 2-го порядка точности без дополнительных требований на гладкость.
Единственное ограничение, которое мы накладываем это то, что коэффициент диффузии - кусочно-постоянная функция.

Описание и обсуждение результатов

В работе мы рассматриваем следующую постановку задачи: имеется стационарное тепловое поле. Требуется найти функцию распределения температуры в среде при наличии внешних источников с граничными условиями первого рода и условиями сопряжения типа неидеального контакта. В результате была написана программа в среде Delphi, с помощью которой убедились, что в данном методе не имеет значение расположение точки разрыва. В таблице приведены результаты счета программы для уравнения: \(k(x) sin(\frac{\pi x}{2})(x-\xi)(1+x^2)\)  здесь \(\xi\) - точка разрыва, \(k_1=0.01\), \(k_2=0.001\)  при \(n=20\), \(\xi=0.87\) с точностью 0.001

 

шаг точное значение ММКО Невязка
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
0.3 -0.002588  0.003607 0.003824

0.8

0.000471  0.000332 0.000997
1.0 0.000000 0.000000 0.000000

 

 

Используемые источники
1. Самарский А.А. Ведение в численные методы
2. Самарский А.А. Введения в теорию разностных схем
3. Тихонов А.Н. Самарский А.А. Уравнения математической физики
Information about the project
Surname Name
Arisova Olga
Project title
method for solving elliptic boundary value problems with discontinuous coefficients
Summary of the project
We consider the class of elliptic boundary value problem with conjugation conditions such as perfect and imperfect contact. We derive formulas for the numerical solution of the modified finite volume method. Numerical results of the program account by this method.
Keywords
boundary Value problems, Modified finite volume method, discontinuous coefficient, elliptic equation