Регистрация / Вход
Прислать материал

Исследование порядка точности линеаризованной схемы Годунова-Куликова в эйлеровых координатах

Сведения об участнике
ФИО
Ключинский Дмитрий Владимирович
Вуз
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет»
Тезисы (информация о проекте)
Область наук
Математика. Механика
Раздел области наук
Математика
Тема
Исследование порядка точности линеаризованной схемы Годунова-Куликова в эйлеровых координатах
Резюме
В работе экспериментально показано, что схема Годунова-Куликова на разрывных решениях имеет отличный от первого порядок точности. Схема была построена для одномерных уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах, а также для новой модели уравнений газовой динамики с диссипативными членами в правых частях, обеспечивающих неубывание энтропии на разрывных решениях. В задаче об ударной волне показано, что толщина ударной волны нелинейно увеличивается со временем и выходит на постоянное значение начиная с некоторого момента времени. В задаче Римана о распаде произвольного разрыва показано корректное воспроизведение всех типов волн и сходимость численного решения к аналитическому.
Ключевые слова
уравнения газовой динамики, метод Годунова, ударная волна, задача Римана о распаде произвольного разрыва, порядок точности схемы, неубывание энтропии
Цели и задачи
1) Постараться сформулировать, что следует понимать под порядком точности разностной схемы на разрывных решениях уравнений газовой динамики
2) Выработать постановку задачи/теоремы о существовании и единственности обобщенных решений уравнений газовой динамики для её последующего доказательства специалистами по дифференциальным уравнениям
3) На различных классических задачах газовой динамики накопить большое количество экспериментального материала для выполнения пунктов 1 и 2.
Введение

В последние два десятилетия наибольшую активность в области исследования и численных решений уравнений газовой динамики приобретают схемы высокого порядка точности. На сегодняшний день создано большое количество таких схем и их модификаций, которые детально описаны в работах зарубежных и российских авторов. В основе всех этих методов стоит численное решение уравнений газовой динамики.

Однако ни в одной работе не введено понятия, что понимается под термином высокий порядок точности в случае разрывных решений. Сначала необходимо сформулировать термин ''порядок точности'' для классической схемы Годунова и сравнить его с формальным первым порядком аппроксимации. Только после этого стоит вести речь о схемах повышенных порядков точности.

Методы и материалы

Основным методом для расчетов порядков точности схемы является метод Рунге (где \(h\) - шаг разностой сетки)

\(P=\lim_{h\to\infty} log_3\frac{f(3h)-f(h)}{f(h)-f(\frac{h}{3})}\)

В качестве функции \(f\) выбираются интегралы от всех законов сохранения для фиксированного контура \([x_1,x_2] \times [t_1, t_2]\)

Например, для закона сохранения массы такой интеграл примет вид:

\(F_{\rho{u}}=\int\limits_{x_1}^{x_2} \rho{u}(x,t_2)\,dx-\int\limits_{x_1}^{x_2} \rho{u}(x,t_1)\,dx+\int\limits_{t_1}^{t_2} (p+\rho{u^2})(x_2,t)\,dt-\int\limits_{t_1}^{t_2} (p+\rho{u^2})(x_1,t)\,dt\)

Тогда точность выполнения закона сохранения импульса можно отобразить в следующем виде:

\(\iint_{G} \bigg(\frac{\partial \rho{u}}{\partial t}+ \frac{\partial (p+\rho{u}^2)}{\partial x}\bigg) dx dt=\oint_{\gamma}\rho{u}dx-(p+\rho{u}^2)dt\simeq{h^P}\)

В качестве функции \(f\) могут выбираться и другие метрики, зависящие от шага сетки.

Другими словами, метод Рунге описывает скорость сходимости некоторой функции \(f\) к предельному значению, полученному при достаточно маленьком шаге сетки \(h\)

Описание и обсуждение результатов

В ходе вычислительных экспериментов было замечено, что порядок точности схемы сильно зависит от выбора контура для счета. Выдвигается предположение, что понятие ''порядка точности'' схемы для уравнений газовой динамики нужно связать с областью, где существует это решение. Также, для более корректной постановки, расчет точности требуется вести в зоне сформировавшихся волн. В работе было показано, что линеаризованная схема Годунова-Куликова в гладкой области имеет первый порядок точности, однако на разрывных решениях она имеет ''дробные'' значения точности, отличные от первого порядка аппроксимации схемы!

Также стоит отметить, что добавка правой части к уравнениям газовой динамики может вызвать определенные разногласия, так как вносит ошибку в закон сохранения момента импульса. Конечно, такая ошибка достаточно мала и является погрешностью более высокого порядка, чем дает исходная численная схема. Что и было видно на результатах расчетов. Тем более такая формулировка дает явный вид (и гарантию) неубывания энтропии, что более важно, чем пренебрежимо малые ошибки в моменте импульса, и позволяет в нескольких формах сформулировать задачу о существовании решения для специалистов в области дифференциальных уравнений.  Вычислительные эксперименты показали полное совпадение (на уровне чуть выше машинной погрешности) численных результатов, полученных двумя схемами, рассмотренных в работе, что говорит о применимости такого подхода к конструированию численной схемы.

Используемые источники
1) Godunov S.K. A Difference Scheme for Numerical Solution of Discontinuous Solution of Hydrodynamic Equations // Mathematichesky Sbornik - 1959. V. 47. P. 271-306.
2) Godunov S., Kulikov I. Computation of Discontinuous Solutions of Fluid Dynamics Equations with Entropy Nondecrease Guarantee // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2014. V. 54, I. 6. P. 1012-1024.
3) Л.В. Овсянников. Лекции по основам газовой динамики, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003
4) Godunov S.K., Manuzina Yu.D., Nazareva M.A. Experimental analysis of convergence of the numerical solution to a generalized solution in fluid dynamics // Computational Mathematics and Computational Physics. - 2011. V. 51. P. 88-95.
5) Kulikovvsky A., Pogorelov N., Semenov A., 2000. Mathematical Aspects of Numerical Solution of Hyperbolic Systems. CRC Press Inc. 560 p.
Information about the project
Surname Name
Klyuchinskiy Dmitriy Vladimirovich
Project title
An investigation of the order of accuracy of the Godunov-Kulikov linearized scheme in the Euler coordinates
Summary of the project
In the work it has been shown, that Godunov-Kulikov linearized scheme has the order of accuracy that differs from the first order of approximation. The scheme was build for one-dimensional equations of hydrodinamics in the Euler coordinates and for new model of equations with some right parts that insure nondecreasing of entropy on discontinuous solutions. Considering the problem about shockwave it has been shown that the width of shockwave nonlinear insreases during time and gets the constant value since some time moment. In the Riemann problem it has been shown the correct reproduction of all types of waves and convergence of numerical solution to analytic solution.
Keywords
equations of hydrodinamics, Godunov scheme, shockwave, Riemann problem, the order of accuracy, nondecreasing of entropy