Идентификация симметрийных свойств анизотропных упругих материалов

Предложен подход для установления класса симметрии упругих свойств анизотропных материалов. Для заданного тензора упругих констант введено понятие оптимальной симметрийной аппроксимации. Получены оценки невязки отклика при использовании такого приближения в упругом линейном законе. Рассмотрены некоторые вопросы, связанные с исследованием симметрийных свойств поликристаллических материалов. С помощью многоуровневых моделей, основанных на физических теориях упруговязкопластичности, проанализировано изменение упругой симметрии представительных объемов однофазных поликристаллов при неупругом деформировании.

Целью работы является разработка математического аппарата для исследования симметрии [1] упругих свойств представительного макрообъема [2] анизотропного простого [3] материала, упругое деформирование которого описывается обобщенным законом Гука [4].

Применяемые в современных конструкциях материалы обладают, как правило, существенной анизотропией упругих характеристик с априори неизвестными свойствами симметрии. Информация о наличии этих свойств, а также возможность их установления имеет важное практическое значение при дальнейшей обработке и эксплуатации изделий из таких материалов.

В работе предлагается подход к решению задачи симметрийной идентификации [5], формулируемой следующим образом. В лабораторной системе координат для исследуемого материала полагаются известными все компоненты макроскопического тензора \({\bf{\Pi }}\) упругих констант; требуется определить, к какому из известных классов симметрии могут быть отнесены его упругие свойства.

Предполагается, что классификация симметрии упругих свойств задается на основе структурной формулы для тензоров упругих констант: \({{\bf{\Pi }}^{\left( s \right)}} = \sum\limits_\alpha {\Pi _\alpha ^{\left( s \right)}{\bf{K}}_\alpha ^{\left( s \right)}} \), где \(s\) – обозначение класса симметрии; \(\Pi _\alpha ^{\left( s \right)}\) – произвольные  независимые константы; \({\bf{K}}_\alpha ^{\left( s \right)}\) – линейно независимые тензоры, определенные в терминах некоторого ортонормированного базиса, называемого каноническим.

Для анализа принадлежности к некоторому классу \(s\) тензор \({\bf{\Pi }}\) упругих констант исследуемого материала проецируется на линейную оболочку базисных тензоров \({\bf{K}}_\alpha ^{\left( s \right)}\) данного класса. Определяются ориентации канонического базиса относительно осей лабораторной системы координат, при которых построенная проекция дает наилучшую аппроксимацию исходного тензора. Норма соответствующей погрешности называется мерой несоответствия. На основе ее значений строится иерархия симметрийных приближений, принимаемых с той или иной степенью точности.

Разработанный аппарат был применен к исследованию симметрийных свойств представительных объемов неупруго деформируемых поликристаллов. Анализировались данные об ориентациях кристаллитов, полученные с помощью многоуровневых моделей [6], основанных на физических теориях упруговязкопластичности.

В ходе работы было введено понятие симметрийной аппроксимации, получены оценки невязки при ее использовании в обобщенном законе Гука. Определена непрерывная неотрицательная функция, значение которой совпадает с величиной меры несоответствия ее тензора-аргумента. Предлагается использовать данную функцию в различных теоретических и прикладных задачах для построения критерия принадлежности свойств исследуемого тензора рассматриваемому классу симметрии.

Рассмотрено приложение аппарата симметрийной идентификации к задачам механики деформируемого твердого тела. Построены статистические зависимости мер несоответствия поликристаллических агрегатов классу изотропии от числа кристаллитов при равномерном распределении ориентаций. Полученные данные могут быть использованы для оценки величины представительного мезообъема, необходимого для идентификации симметрийных свойств, в многоуровневых моделях поликристаллических материалов. В ходе исследования симметрии упругих свойств представительного объема поликристаллической меди, испытавшего интенсивные пластические деформации, было установлено, что заметной на прямых полюсных фигурах неоднородности распределения ориентаций может быть недостаточно для существенной макроскопической упругой анизотропии.

Следует отметить, что предложенный к проблеме симметрийной идентификации упругих свойств подход  допускает естественное обобщение на случай произвольных физико-механических свойств тензорной природы.

1. Михеев В.А., Зайцев В.М. Анизотропные материалы. Учебное пособие. – Самара: Самар. гос. аэрокосм. ун-т, 2012. – 79 с.
2. Трусов П.В., Келлер И.Э. Теория определяющих соотношений: Курс лекций. Ч. 1. Общая теория. – Пермь: Перм. гос. тех. ун-т, 2006. – 173 с.
3. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. – М.: Мир, 1975. – 592 c.
4. Ляв А. Математическая теория упругости. – М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. – 674 с.
5. Остапович К.В., Трусов П.В. Об анизотропии упругих материалов: идентификация симметрийных свойств // Механика композиционных материалов и конструкций. –2016. –T. 22, № 1. – C. 69-84
6. Трусов П.В., Швейкин А.И., Нечаева Е.С., Волегов П.С. Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры // Физ. мезомеханика. – 2012. – Т. 15. – № 1. – С. 33-56.

An approach to identify an elastic symmetry of anisotropic materials is proposed. An optimal symmetrical approximation concept of a given elastic tensor is defined. Estimations of the residuals caused by such approximations of the elastic linear law are obtained. Some problems related to a research of polycrystalline materials’ symmetrical properties are considered. Elastic symmetry changes of single-phase polycrystals during inelastic deformations were analyzed with the help of multi-level models based on crystal plasticity theories.