Нелинейная динамика уравнений с запаздыванием, зависящим от искомой функции

В работе рассматривается уравнение первого порядка с запаздыванием, зависящим от искомой функции, с нелинейной правой частью. Ставится задача исследования поведения решений рассматриваемого уравнения в малой окрестности его нулевого положения равновесия. Для этого применяется асимптотический метод нормальных форм.
Также в работе рассматривается логистическое уравнение с запаздыванием, зависящим от искомой функции. Проводится изучение его локальной динамики, а также исследуются его некоторые нелокальные свойства.

1. Исследование устойчивости состояний равновесия рассматриваемых уравнений.
2. Изучение способов потери устойчивости состояниями равновесия.
3. Получение условия реализации бифуркации обмена устойчивостью.
4. Получение условия реализации бифуркации Андронова - Хопфа.
5. Численное и аналитическое исследование глобальных бифуркаций в уравнении Хатчинсона с непостоянным запаздыванием.

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом играют важную роль при математическом моделировании процессов горения в ракетных двигателях и процессов резки металлов, а также при моделировании большого количества различных технических и биологических процессов с обратной связью. При этом если для уравнений с постоянным запаздыванием существует хорошо развитая теория, то для уравнений с запаздыванием, зависящим от состояния системы, аналитические методы исследования развиты недостаточно, а прямое применение численных методов не обосновано из-за их низкой степени точности.

Для достижения заданных целей и решения поставленных задач используется два аналитических метода – метод нормальных форм и метод большого параметра, - а также метод численно моделирования. Последний применяется для иллюстрации полученных результатов.

Метод нормальных форм используется для исследования локальной динамики рассматриваемых уравнений. Его идея заключается в следующем. Фазовое пространство исследуемого уравнения содержит так называемое центральное многообразие. Локальная динамика уравнения во всем фазовом пространстве определяется динамикой этого уравнения на центральном многообразии. Уравнение на центральном многообразии может быть представлено в более простом виде, чем исходное, поэтому оно легче для изучения.

Метод большого параметра применяется для изучения нелокальной динамики логистического уравнения с непостоянным запаздыванием. Он позволяет доказывать существование нелокального периодического решения у сингулярно возмущенного уравнения с запаздыванием. Его основная идея в том, чтобы показать, что оператор Пуанкаре переводит некоторый специально выбранный класс начальных условий в себя. Тогда он имеет неподвижную точку, которой соответствует периодическое решение исходного уравнения. Доказательство этого факта предполагает интегрирование исходного уравнения по шагам и параллельного получения асимптотических оценок для решения.

В работе для двух уравнений с непостоянным запаздыванием с помощью метода нормальных форм были изучены способы потери устойчивости их положениями равновесия при переходе бифуркационных параметров через критические значения. Установлены условия возникновения бифуркации обмена устойчивостью и суперкритической бифуркации Андронова – Хопфа. Получены асимптотики решений, приобретающих устойчивость в результате бифуркаций.

Также в работе показано существование нелокального периодического решения у логистического уравнения с запаздыванием, зависящим от искомой функции. Исследованы важные свойства этого решения. Например, оно обладает асимптотически большим периодом и асимптотически большим максимумом, а также асимптотически малым минимумом.

[1] Валентайн Р.С. Экономичность, устойчивость и работоспособность ЖРД // Вопросы ракетной техники. - 1973 - Т. 1 - № 217.
[2] Sabersky R.H. Effect of wave propagation in feed lines on low frequency rocket instability // Jet Propulsion. - 1964 - Vol. 24 - no. 172.
[3] Crocco L., Harrje D.T., Reardon F.H. Transverse combustion instability in liquid propellant rocket motors // ARS Journal. - 1962 - Vol. 32 - no. 3.
[4] Reardon F.H., Crocco L., Harrje D.T. Velocity effects in transverse mode liquid propellant rocket combustion instability // AIAA Journal - 1964 - Vol. 2 - no. 9.
[5] Колесов Ю.С., Швитра Д.И. Математическое моделирование процесса горения в камере жидкостного ракетного двигателя // Литовский математический сборник - 1975 - Т. 15 - № 4.

In this work, a first-order equation with state-dependent delay and with nonlinear right-hand side is considered. Conditions of existence and uniqueness of solution of initial value problem are supposed to be executed. Problem is to research the behavior of solutions of considered equation in a small neighborhood of its zero equilibrium. Local dynamics depends on real parameters which are coefficients of equation right-hand side decomposition in a Taylor series. Parameter, that is a coefficient at linear part of this decomposition, has two critical values, which determines a domain of stability of zero equilibrium. We introduce a small positive parameter and use the asymtotic method of normal forms in order to research local dynamics modifications of equation near each two critical values. We show, stability exchange bifurcation occurs in considered equation near the first of these critical values, and supercritical Andronov - Hopf bifurcation occurs near the second of them (if sufficient condition is executed). Asymptotic decompositions according to correspondent small parameters are obtained for each stability solution. Next, logistic equation with state-dependent delay is considered. Bifurcation parameter of this equation has the one critical value. Simple condition of Andronov - Hopf bifurcation occurence in considered equation near critical value is obtained as a result of applying the method of normal forms. Some nonlocal properties of this equation are researched in current work.