Особые решения обыкновенного дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y (x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y’(x), y''(x) ,…, y^n(x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решенной, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре.

Определение 1. [1, С. 36 ]Особые решения обыкновенного дифференциального уравнения – решение, в любой окрестности каждой точки которого нарушается единственность решения задачи Коши (состоит в нахождении решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям) для этого уравнения.

Определение 2. Дискриминантная кривая — кривая, уравнение которой удовлетворяет уравнению дискриминантной кривой.Для каждой ветви дискриминантной кривой надо проверить, является ли эта ветвь решением уравнения, и если является, то будет ли это решение особым, т. е. касаются ли его в каждой точке другие решения.

Описанная ситуация показывает, что одно и то же понятие может иметь различные назначения. Это неудобство не сложно устранить простым упоминанием применяемого термина. Куда сложнее разрешить ситуацию в том случае, когда разные понятия называются одинаковыми терминами. Приведенный в статье метод отыскания особого решения обыкновенного дифференциального уравнения использует определение этого решения как проходящего через каждую точку интегрального решения. Заметим, что очень часто под особым решением подразумеваются решения, потерянные в результате интегрирования или преобразований. Создавшаяся путаница приводит к некоему непониманию не только того, что такое особое решение, но и в чем же его «особость». В качестве альтернативы этой терминологической неразберихи можно предложить назвать потерянные интегральные решения особенными