Математическое моделирование построения портфелей биржевых опционов

Конструирование портфелей биржевых опционов – это важная задача хеджирования инвестируемого капитала от возможных резких колебаний цен активов. В настоящее время на российском рынке каждая инвестиционная или брокерская компания создает инвестиционные портфели с использованием опционов в различной модификации (структурные, опционные продукты, доверительное управление, торговые роботы). Однако стоимость подобных продуктов значительна. Особый интерес для исследований представляет вопрос, касающийся формирования «бесплатного» типа опционных продуктов (ОП), либо с заранее заданной ограниченной стоимостью.

Целью данной работы является развитие комбинаторной модели для формирования опционных портфелей. Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи: 1) реализовать алгоритмы целочисленного и нецелочисленного решения задачи линейного программирования (ЗЛП) комбинаторной модели опционного портфеля; 2) сформировать портфели опционов с различными инвестиционными целями; 3) провести апробацию предложенной модели в режиме реального времени.

Авторы современных работ рассматривают вопрос конструирования опционных продуктов (ОП), учитывая различные факторы: размер инвестируемого капитала, допустимый риск, цели инвестора [1-5]. Объектом исследования являются инструменты срочного рынка для построения финансовых портфелей. Предмет исследования – комбинаторная модель опционного портфеля. Практическая значимость работы заключается в использовании результатов моделирования для создания механических торговых систем, а также портфелей деривативов в финансовых компаниях. Апробация работы проведена в торговом терминале Quik. На основании полученных оптимальных планов комбинаций опционов «call» и «put» сформирован ОП, достигнуто максимальное значение функции прибыли.

 

Данная работа является развитием исследования [6], в котором производилось построение опционного продукта, рассчитанного на рост базового актива (БА). В работе [6] решение задачи линейного программирования (ЗЛП) находилось без условия целочисленности решения, которая достигалась путем округления полученного решения до целых чисел. Такой подход оправдан, когда значения округляемых переменных много больше единицы. Однако, если значения переменных сравнимы с единицей, то простое округление решения может приводить к значительным погрешностям, как в оптимальном решении, так и в значении целевой функции (в данной задаче целевая функция это доход портфеля). В нашей работе задача оптимизации решается сразу как задача целочисленного программирования для двух стратегий формирования опционного портфеля, рассчитанных: 1) на рост цены БА, 2) падение цены БА и 3) колебание цены БА. Оптимальный план опционных контрактов «call» и «put» задачи линейного программирования был получен двумя методами: симплекс-методом и методом Монте-Карло. Симплекс-метод позволяет находить нецелочисленный оптимальный план, поэтому приходится прибегать к округлению, предварительно проверяя выполнение всех ограничений. Для устранения указанного недостатка использован метод – Монте-Карло. Однако при решении ЗЛП условия ограничения-равенства монетизации и ограничения убытка приходится задавать в виде определенного промежутка, в отличие от симплекс-метода, в котором данные величины фиксированы. 

В работе проведено описание методики конструирования сложных портфелей биржевых опционов с учетом целей инвестора: ограничение максимального убытка, денежная выплата в момент формирования продукта и сценарий поведения базового актива. Сформированы опционные портфели (базовый актив - акции ПАО "Газпром"): «бычий» структурированный коллар (рост цены актива) «медвежий» структурированный коллар (падение цены актива) и «портфель структурированная бабочка» (колебание цены актива). Для получения опционных портфелей с заданными свойствами сформулирована задача линейного программирования с определенным набором ограничений в виде неравенств и равенств. Решения данной задачи найдены в пакете Matlab с использованием: симплекс-метода и метода Монте-Карло. 

Для «бычьего» структурированного коллара симплекс-методом найден нецелочисленный оптимальный план X_opt=(-0,67; -1,2; 10; 1,87; -10; 0; 0; 0,67; 10; -10; 9,33; -10), значение целевой функции F_opt=(M_e=15500)=8795,2 руб., метод Монте-Карло привел к целочисленному оптимальному плану Xopt=(2; 1; 3; 2; -7; -1; 2; -2; 7; 2; -5; -4) и Fopt=(Me=15500)=10500 руб. 

Для «медвежьего» структурированного коллара симплекс-методом найден нецелочисленный оптимальный план Xopt=(-10; 9,33; -10; 10; 0,67; 0; 0; -10; -1,55; 10; 2,22; -0,67), значение целевой функции Fopt=(Me=12500)=12223 руб., метод Монте-Карло привел к целочисленному оптимальному плану Xopt=(-2; -4; -2; 0; 6; 2; 0; -2; 0; -4; -1; 7) и Fopt=(Me=12500)=13000 руб. 

Таким образом, оптимальное значение целевой функции прибыли портфеля «бычий» коллар методом Монте-Карло в 1,63 раза больше аналогичного значения, найденного симплекс-методом. Оптимальное значение целевой функции прибыли портфеля «медвежий» коллар симплекс-методом в 1,06 раза больше аналогичного значения, найденного методом Монте-Карло.

Стратегия портфеля «структурированная бабочка» подразумевает колебание цены актива в определенном интервале. Данная стратегия является усложненной комбинацией "бычьего" и "медвежьего" колларов с двухуровневым ограничением убытков. Симплекс-методом были получены: значение целевой функции Fopt=(Me=14000)=50000 руб. и нецелочисленный оптимальный план: Xopt=(99,85; -99,99; -79,56; 79,7; -40; 40; 40; -40; 0; 30,15; -80,3; 50,15). Расчеты методом Монте-Карло было провести затруднительно ввиду больших временных затрат для получения результата. 

На примере конструирования портфеля «бычий»  коллар (базовый актив - индекс РТС) проведена апробация комбинаторной модели в торговом терминале Quik. Исходная сумма вложений равна 50 000 руб. Результирующая прибыль (без учета биржевых сборов) по портфелю составила 94 960 руб. 

 

1. Bartoňová M. (2012) Hedging of Sales by Zero-cost Collar and its Financial Impact. Journal of Competitiveness. 4 (2) 111-127, http://www.cjournal.cz/files/99.pdf
2. Garrett S. J. (2013) An Introduction to the Mathematics of Finance. A Deterministic Approach. New York. Elsevier Ltd.
3. Griffin B. (2007) Review of Collar Options for Cotton Industry. Chemonics International Inc. URL: http://pdf.usaid.gov/pdf_docs/PNADK976.pdf
4. Das S. R., Statman M. (2013) Options and structured products in behavioral portfolios. Journal of Economic Dynamics & Control 37 137–153.
5. Zhukov P. Default Risk and Its Effect for a Bond Required Yield and Volatility // Review of Business and Economics Studies. 2014. V. 2. No. 4. P. 87-98.
6. Курочкин С.В, Пичугин И.С. Структурированный коллар: построение сложных опционных продуктов // Рынок Ценных Бумаг. 2005. № 14 (293). С. 64-68.

Importance. Interest to the market of financial products steadily grows. Broker's companies aspire to provide the maximal income with the advance certain size of losses. In general case brokers are create financial products based on simple option strategies. On account of this approach is difficult to realize the various investor targets. Our research is devoted to the description of the approach of complex portfolios design which are called "bull", "bear" and "structured butterfly" collars.
Objectives. The aim of the research is to progress of combinatory model for formation option portfolios. For achievement of the aim three primary problems have been put: 1) to realize algorithms of the integer and noninteger solution to linear programming problem combinatory model option portfolio; 2) to generate option portfolios with various investment objectives; 3) to lead approbation of the offered model in a mode of actual time.
Methods. The optimum non-integer and integer plans of the linear programming problem for the set of option contracts «call» and «put» have been received with the Simplex method and the Monte-Carlo method respectively.
Results. Three complex portfolios based on: "bull", "bear" and "structured butterfly" collars have been designed for the cases of fall, grow and fluctuation of the base equity price. The optimum plan and the objective function value have been found with the Simplex method and the Monte-Carlo method.
Conclusions and Relevance. The Simplex method allows us to find the non-integer optimum plan, therefore it is necessary to round the obtained solution with the check of all restrictions. For elimination of the this lack the Monte-Carlo method is used. Note that the Monte-Carlo method requires to set the equality monetization condition and the loss restrictions in the form of the range while the Simplex method requires to set the fixed value. The optimum value of the objective function of the "bull" collar portfolio obtained with the Monte-Carlo method in 1.63 times more than the corresponding value for the Simplex method.
The optimum value of the objective function of the "bear" collar portfolio obtained with the Simplex method in 1.06 times more than the corresponding value for the Monte-Carlo method.