Регистрация / Вход
Прислать материал

О разрешимости задачи для нелинейного весового оператора Лапласа на всей плоскости

Сведения об участнике
ФИО
Голубева Елизавета Викторовна
Вуз
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский университет МЭИ»
Тезисы (информация о проекте)
Область наук
Математика. Механика
Раздел области наук
Математика
Тема
О разрешимости задачи для нелинейного весового оператора Лапласа на всей плоскости
Резюме
Рассматривается вопрос разрешимости уравнения для нелинейного весового оператора Лапласа в весовом пространстве Соболева. Дополнительное условие, обеспечивающее разрешимость этого уравнения, является условием равенства нулю среднего значения искомого решения на некоторой окружности фиксированного радиуса.
Ключевые слова
Весовые пространства Соболева, нелинейный оператор Лапласа
Цели и задачи
Рассмотреть задачу для нелинейного весового оператора Лапласа в пространстве типа Соболева, не предусматривая никаких априорных условий на предельное поведение искомого решения на бесконечности.
Введение

Рассматривается задача для нелинейного весового оператора Лапласа

\(\mathfrak{A}_{p,w}u \equiv -\sum_{i=1}^2 \frac{\partial}{\partial x_i} \left( w(|x|) \left| \frac{\partial u}{\partial x_i} \right|^{p-2} \frac{\partial u}{\partial x_i} \right).\)

Этот оператор существенно используются как в эллиптической, так и в параболической теориях нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. 

Дополнительное условие состоит в том, что среднее интегральное значение решения на некоторой окружности равно нулю. Это условие, при наличии оценки градиента функции в весовом пространстве, позволяет установить оценку самой функции с соответствующим весом.

Методы и материалы

Доказательство весового неравенства типа Пуанкаре проводится с помощью неравенства типа Харди.

Для доказательтва корректности задачи применяется метод монотонных операторов. Выбор этого метода продиктован его относительной простотой и возможностью получать с его помощью не только существование, но и единственность решения нелинейных задач.

Описание и обсуждение результатов

Для поставленной задачи введено естественное весовое пространство типа Соболева, доказаны его полнота, рефлексивность и сепарабельность. Задан ассоциированный с исходным уравнением оператор, установлены его непрерывность и равномерная монотонность при всех рассматриваемых значениях показателя \(1<p<\infty\) . Эти свойства позволили получить существование и единственность обобщенного решения задачи, а также сильную сходимость последовательности приближенных решений к обобщенному решению.

Приведены характерные примеры правых частей уравнения. Для правых частей определенного вида доказана необходимость основного весового неравенства для корректности задачи.

Используемые источники
1. Дубинский Ю.А. Об одной шкале интегральных неравенств типа Харди, \textit{Доклады Академии Наук}, 2010, т. 430, № 6, с. 730-733.
Information about the project
Surname Name
Golubeva Elizaveta
Project title
On solvability of equation for nonlinear weighted Laplace operator in the plane
Summary of the project
This article concerns the solvability of equation for nonlinear weighted Laplace operator in weighted Sobolev space. The additional condition that the average of the solution over some circle is equal to zero provides the solvability of this equation.
Keywords
Weighted Sobolev spaces, nonlinear Laplace operator