Модель потенциального обтекания двумерного тела, образованного дугами окружностей

Разработан численно-аналитический метод решения задач потенциального течения около двумерного тела, составленного из дуг окружностей. Метод основан на применении теории функций комплексного переменного, метода инверсии диполей и метода
дискретных вихрей.

Целью научно-исследовательской работы является создание модели потенциального течения около заданного профиля и получение визуальной картины обтекания профиля, значений коэффициента давления на контуре профиля.
Задачами исследования являлись:
• изучение потенциального обтекания уже существующих моделей;
• получение нового комплексного потенциала;
• создание алгоритма программы;
• написание программного кода.

Задачи обтекания тел часто встречаются в различных областях техники. В качестве примера обтекания двумерного тела, образованного дугами окружностей, можно привести поперечное сечение ракетоносителя с боковыми ускорителями, поперечное сечение двухфюзеляжного самолёта.

Модель потенциального обтекания является наиболее простой и может быть использована в качестве одной из составляющих в более общей модели течения. Иногда при аэродинамическом проектировании летательных аппаратов (ЛА) модель потенциального течения является достаточной для получения аэродинамических характеристик на стадии предварительного проектирования. 

Суть предлагаемого ниже численно-аналитического метода состоит в совместном применении теории функций комплексного переменного (ТФКП), метода инверсии диполей и метода дискретных вихрей (МДВ). Теорема об инверсии диполей относительно окружностей разрешит проблему обтекания двух круговых контуров, а использование инверсии дискретных вихрей относительно окружностей позволяет обеспечить точное выполнение условий непротекания на дугах, соединяющих две окружности.

С математической точки зрения эти методы можно отнести к группе численных методов граничных элементов, которые, в конечном счёте, сводятся к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с матрицей плотной структуры. Порядок системы определяется общим количеством граничных элементов, на которые разбиваются образующие тел. 

 

Для визуализации течения строятся линии тока, которые являются результатом интегрирования дифференциального уравнения линии тока

\({dx\over u}={dy\over v}=dt\) ,                                                              (14)

где  –\(dt\) произвольная константа, задающая шаг интегрирования.

            Для численного интегрирования уравнения (14) использован метод Эйлера первого порядка

  \(x_{(i+1)}=x_{(i)}+\tau u^{(i)},{ } y_{(i+1)}=y_{(i)}+\tau v^{(i)};\) (15)

где  и – \(x_{(i+1)},y_{(i+1)},x_{(i)},y_{(i)}\) координаты в (i+1)-ой и i-ой расчётных точках, соответственно;\(u^{(i)},v^{(i)}\) – компоненты скорости в i-ой расчётной точке/                                                    

Из полученных значений скоростей можно получить график зависимости коэффициента давления на контуре профиля (по нулевой линии тока).

\(C_p={{2(p-p_{\propto}) }\over \rho V_\propto^2} =1-({V\over V_\propto})^2\),    (16)

где V –абсолютная скорость в текущей точке контура.

Данный метод расчёта потенциальных течений около профиля, составленного из дуг окружностей, обладает достаточно высокой точностью и экономичностью по сравнению с прямым применением методов граничного элемента. Экономичность метода и повышенная точность объясняется тем, что на части профиля обеспечивается аналитическое выполнение граничных условий. В перспективе, развитие программы позволит вычислять подъёмную силу в зависимости от переменного угла атаки, а также производить исследование интерференции данного профиля.

1. Фролов, В. А. Модель потенциального обтекания комбинации двух круговых кон -туров в присутствии пары дискретных стационарных вихрей //Ракетно-космическая техника. Научно-технический сборник, серия XII, выпуск 1. - Самара: Волжское конструкторское бюро РКК «Энергия», Самарский государственный аэрокосмический университет, 2001.
2. Фролов, В. А. Численно-аналитический метод решения задач потенциального течения около группы двумерных тел // Вестник Самарского Государственного Аэрокосмического Университета имени академика С. П. Королёва (национального исследовательского университета), 2004 год, вып. 1(5). - Самара: Самарский государственный аэрокосмический университет, 2004.
3. Милн-Томсон, Л. М. Теоретическая гидродинамика. Перевод А.А.Петрова. - М.: «Мир», 1964.- 660 с.
4. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1978. – 736 с.

A numerical-analytical method for solving 2D potential flow around the body, formed by arcs of circles. The method is based on the use of complex function theory, the method of inversion of the dipoles and method of discrete vortices .