Исследование волновых процессов с инволютивным отклонением

В данной работе методом Фурье найдено классическое решение смешанной задачи для дифференциального уравнения первого порядка с инволюцией и с граничным условием общего вида. Получены формулы для собственных значений и собственных функций соответствующей спектральной задачи. Использованы приемы, с помощью которых возможно просуммировать ряд, представляющий формальное решение, и доказать, что полученная сумма дает классическое решение задачи. При этом на начальные данные задачи накладываются минимальные требования.

Получить явное решение для смешанной задачи с инволютивным отклонением при минимальных требованиях на начальные данные задачи. Провести исследование при краевом условии общего вида.

В данной работе исследуется решение смешанной задачи для уравнения с инволютивным отклонением.

Задача решается методом Фурье. Обоснование метода Фурье в задачах матфизики опирается на доказательство равномерной сходимости ряда, представляющего формальное решение задачи, и рядов, полученных его почленным дифференцированием нужное число раз.

Недостатком этого метода считается требование завышенной гладкости на начальные данные. Решение этой проблемы было намечено А. Н. Крыловым. Суть его приема состояла в том, чтобы путем разбить формальное решение на два ряда, один из которых точно суммируется, а второй ряд можно почленно дифференцировать. Развитие этого приема продолжено в работах В. А. Чернятина, А. П. Хромова и его учеников.

При исследовании используются методы математического и функционального анализа, а так же сведения из теории функций комплексных переменных. 

Используются приемы, позволяющие просуммировать формальный ряд, полученный по методу Фурье, и избежать его почленного дифференцирования.

Для исследования соответствующей спектральной задачи используется метод сведения к векторной задаче.

Использование метода Фурье в рассмотренной задаче благодаря симметричному потенциалу привело к получению решения не в форме
ряда, а в явном виде. В результате судить о гладкости решения можно непосредственно по функции, полученной при суммировании ряда и зависящей от начальных данных задачи.

Это дает возможность для дальнейшего исследования задачи  в случае произвольного потенциала и получения классического  решения, основываясь на идеях преобразования формального ряда. Полученные результаты планируется использовать  при моделировании волновых процессов в объектах сетеподобной структуры.

1. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах. ГИТТЛ, 1950
2. Чернятин В.А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных. М.: Изд-во МГУ. 1991
3. Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. О классическом решении смешанной задачи для уравнения первого порядка с инволюцией// Вестник Воронеж. гос. ун-та. Сер.: Физика. Матем-ка. – Воронеж, 2010
4. Хромов А.П., Бурлуцкая М.Ш. Классическое решение методом Фурье смешанных задач при минимальных требованиях на исходные данные // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14. вып. 2

In this paper, The Fourier method is used to find a a classical solution of the mixed problem for a first order differential equation with involution and with the boundary condition of general form. The formulas for the eigenvalues and eigenfunctions of the corresponding spectral problem are obtained. We are applied the methods by which it is possible to sum the series representing the formal solution, and to prove that the sum is giving classical solution of the problem. At the same time on the initial data of the problem imposed minimum requirements.