Регистрация / Вход
Прислать материал

Разработка численного метода ускоренного решения нелинейных алгебраических уравнений

Сведения об участнике
ФИО
Довгополая Елена Алексеевна
Вуз
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ"»
Тезисы (информация о проекте)
Область наук
Математика. Механика
Раздел области наук
Математика
Тема
Разработка численного метода ускоренного решения нелинейных алгебраических уравнений
Резюме
Рассмотрены существующие численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений. Предложен усовершенствованный вариант, показывающий хорошие результаты, в особенности применительно в расчетам технических систем. Вводятся понятия частоты и добротности корней полиномов, предложены приближенные формулы для вычисления этих характеристик и поправки для итерационного уточнения результатов.
Ключевые слова
Численный метод, решение гладких нелинейных задач, корни полинома, добротность
Цели и задачи
Реализация нового численного метода решения нелинейных алгебраических уравнений, превосходящего существующие аналоги по своим ключевым характеристикам: скорости, точности, сходимости.
Введение

Изначальная задача выработки нового подхода к решению нелинейных алгебраических уравнений, удобного для прямых аналитических расчетов и оценки параметров схем при многопараметрическом переборе, возникла при создании современных прецизионных измерительных приборов из необходимости анализа поведения активных фильтров, разработки перспективной и выбора существующей элементной базы. Учитывая общепринятые математические модели систем в физике и технике в виде интегро-дифференциальных уравнений, преобразованием Лапласа сводящихся к алгебраическим, полученные результаты целесообразно положить в основу нового численного метода.

Методы и материалы

Основу предлагаемого подхода составляет отказ от традиционного для большинства численных методов искусственного задания "извне" начального значения для расчетов. Вместо этого на основе коэффициентов уравнения вычисляется первое начальное приближение, уточняемое впоследствии итерационным образом путем введения поправок в четко обозначенные коэффициенты. Для кубических уравнений количество подобных коэффициентов не превышает одного. Кроме того, корни уравнения в процессе выполнения вычислений характеризуются через понятия их частоты и добротности, как это принято в радиотехнике. Разрабатываемый метод предполагает безусловную сходимость к точному решению, что исключит необходимость проверки корректности выдаваемого после машинных расчетов результата.

Описание и обсуждение результатов

Когда речь идет об аналогах, использующих аналитическое решение (что возможно не всегда), основным преимуществом предлагаемого алгоритма выступает отсутствие существенной накапливаемой машинной ошибки вычислений, которая является неустранимой. Используемые ныне численные методы либо быстры, но сходятся условно (т. е. возможно появление ложных решений), либо требуют сравнительно большого количества машинных ресурсов, что неприемлемо для решения такой тривиальной задачи в составе крупной проблемы (например, при многопараметрическом переборе). Разрабатываемый метод на данном этапе (реализовано решение кубических уравнений и определенных видов уравнений 4 степени) показывает очень быструю сходимость к точному решению (сравнимую с методом Зейделя), но при этом задействованы также довольно скромные вычислительные ресурсы ввиду отсутствия громоздких вычислений. Последнее также минимизирует неустранимую вычислительную ошибку. На данном этапе исследований основной сложностью является определение четкого критерия для выбора тех или иных формул вычисления первого приближения для уравнений высоких порядков. Сами же формулы показывают хорошие результаты. На первых этапах недостатки разрабатываемого численного метода предполагается нивелировать путем комбинирования с существующими, хорошо зарекомендовавшими себя аналогами. В последующем доработанный продукт не должен в этом нуждаться.

Используемые источники
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: ГИТТЛ, 1967. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М: Наука, 2003. — 832 с. Ращиков В. И., Рошаль А. С. Численные методы решения физических задач : учеб. пособие / – СПб.: Лань, 2005. - 204 с. Масленников В.В. Новый метод решения алгебраических уравнений без использования мнимых чисел / Вестник Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ», т. 6 – 2015. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2015610873. Дата регистрации 20 января 2015 года. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2015615903. Дата регистрации 27 мая 2015 года.
Information about the project
Surname Name
Elena Dovgopolaya
Project title
The development of faster numerical method for nonlinear algebraic equations solving
Summary of the project
There are considered the existing numerical methods for solving nonlinear algebraic equations. An improved version is proposed, showing good results, especially in technical systems calculations. There are introduced the concepts of frequency and q-factor of polynomial roots, also there are proposed approximate formulas for its characteristics calculations and iterative corrections of results.
Keywords
Numerical method, smooth nonlinear problem solving, polinomial roots, Q-factor