Краевая задача Гильберта для квазигармонических функций

В статье разработаны конструктивные методы решения классической краевой задачи Гильберта в классах квазигармонических функций первого рода в единичном круге и в круге неединичного радиуса. Установлено, что картина разрешимости рассматриваемой краевой задачи в единичном круге существенно отличается от картины разрешимости этой задачи в неединичном круге.

Основной целью настоящей работы является установление различий в картинах разрешимости однородной задачи Гильберта в классах квазигармонических функций первого рода в круговых областях единичного и неединичного радиусов;
Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие две задачи:
а) разработать методы явного решения и установить картины разрешимости задачи Гильберта в классах квазигармонических функций первого рода в круговых областях единичного и неединичного радиусов;
б) построить конкретные примеры, иллюстрирующие существенную разницу в картинах разрешимости рассматриваемой задачи Гильберта в круговых областях единичного и неединичного радиусов.

Пусть T⁺ - конечная односвязная область на плоскости  переменного

z=x +iy, ограниченная контуром Ляпунова L. 

Рассматривается задача Гn: требуется найти все квазигармонические рода n функции W(z) = u(x, y) +iv(x, y)  в области Т⁺ (т.е. решения уравнения \(\frac{\partial^2W}{\partial z \partial \bar{z}}+ \frac{n(n+1)}{(1+z \bar{z})}W=0 \) , удовлетворяющие на L кравевому условию 

                                                      \(Re\left\{{\bar{h(t)}W(t)}\right\}=q(\tau), \tau\in L,\)

где \(h(\tau)=\alpha(\tau)+i\beta(\tau), q(\tau)\) - заданные на L функции, непрерывные в смысле Гельдера. 

Основной целью  работы является установление различий  в картинах разрешимости задачи Гn в круговой области \(T^+_{r}=\{ z:|z|0\), в зависимости от того, является ли \(r=1\) или \(r\neq1\).       

Для решения поставленных в работе задач используются теория краевых задач комплексного анализа (в частности, методы решения классической задачи Гильберта для аналитических функций комплексного переменного), теоремы Нетера для сингулярных интегральных уравнений, методы аналитической теории дифференциальных уравнений.

Кроме того, для постановки задачи и формулировки основных результатов вводятся в рассмотрение различные классы аналитических и квазигармонических функций.

В данной работе, базируясь на теорию краевых задач комплексного анализа и аналитическую теорию дифференциальных уравнений, получены методы явного решения однородной краевой задачи Гильберта в классах квазигармонических функций первого рода в единичном круге и в круге неединичного радиуса. Установлено, что картины разрешимости рассматриваемой краевой задачи в указанных двух случаях существенно отличаются друг от друга. Приведены конкретные примеры, иллюстрирующие полученные общие теоретические результаты.

Основные результаты работы неоднократно докладывались на научно-исследовательском семинаре по краевым задачам комплексного анализа (под руководством профессора К.М. Расулова) при физико-математическом факультете Смоленского государственного университета (СмолГУ). Кроме того, основные результаты работы были доложены на 64-ой студенческой научной конференции СмолГУ (16 апреля 2016 года), а также на XVII Международной научной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (20-22 мая 2016 года).

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 735 с.
2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. – М: Наука, 1977. – 640с.
3. Расулов К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения. – Изд-во СГПУ, Смоленск, 1998. – 344 с.
4. Расулов К.М. Метод сопряжения аналитических функций и некоторые его приложения. – Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2013. – 188 с.
5. Расулов К.М. Краевая задача Гильберта в классах квазигармонических функций в круге // Известия СмолГУ, 2014. – № 4(28). – С. 395–401.
6. Расулов К.М., Тимофеева Т.И. Краевая задача Гильберта для квазигармонических функций в круговых областях, отличных от единичного круга // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы XVII междунар. науч. конф. – Смоленск, 2016, Вып. 17. – С. 207–11.

The article is devoted to the development of the classical Hilbert boundary value problem solution constructive method for the first genus quasiharmonic functions classes in a unit and non unit circle. It’s proven that the observed problem solvability picture in a unit circle significantly differs from solvability picture in a non unit circle.