Разработка новых методов изучения интегрируемых систем и пространств модулей в геометрии, топологии и математической физике

1.1. Исследование комбинаторных решений интегрируемой иерархии КП, строящихся по представлениям симметрических групп.
1.2.Исследование пучков Горески-Макферсона на двойном аффинном Грассманниане.
1.3. Интерпретация струнных уравнений Эйнштейна и их симметрий как высших гомологических операций.
1.4. Применение теорий представления алгебры Вирасоро, связанной с двумерными конформными теориями к описанию непертурбативных явлений в четырехмерных суперсимметричных теориях.
1.5. Разработка подходов к явному вычислению струнных мер для родов, больших двух.
1.6. Применение методов W-алгебр к изучению производящих функций чисел Гурвица.
1.7. Исследование связей между перечисляющими функциями графов с хвостами и решениями обобщённых уравнений Бюргерса.

2.1. Исследование асимптотических разложений матричных интегралов и их интерпретация как производящих функций.
2.2. Изучение структуры особенностей стабильных отображений комплексных кривых
2.3. Описание суперструнных уравнений Эйнштейна для 10-мерной супергравитации в терминах высших гомологических операций.
2.4. Построение соответствия между статистическими суммами Некрасова и конформными блоками двумерной конформной теории.
2.5. Выработка гипотез о структуре меры в теории суперструн для рода g>5.
2.6. Исследования по дуальности Алдая-Малдасены и связанной с ней проблемы Плато в АдС.
2.7. Исследование функториального гомотопически ассоциативного копроизведения на комбинаторных симплициальных цепях, трансформирующегося в себя при барицентрическом разбиении.
2.8. Определение действия пучков Горески-Макферсона на двойном аффинном Грассманниане.

3.1. Проведение компьютерных экспериментов по вычислению пределов высших копроизведений Колмогорова-Александера.
3.2. Изучение структуры тензорной категории на несимметричных билинейных формах с отмеченными взвешенными полуортогональными базисами.
3.3. Изучение стратификации пространств стабильных отображений комплексных кривых в зависимости от их особенностей.
3.4. Восстановления бездисперсионной интегрируемой иерархии до полной.
3.5. Изучение статистики сингулярностей в Лапласовском росте и фрактальных свойств агрегационных кластеров.
3.6. Подготовка научно-методических материалов к ежегодной Киевской физико-математической школы-конференции.

3.7. Изучение возможности ведения структуры кристалла Кашивары на множестве неприводимых компонент слоев отображения.
3.8. Получение аналогов обобщённых уравнений Бюргерса для замкнутых стабильных графов.

4.1. Сравнение рекурсивных формул, возникающих из уравнения автомодельности относительно барицентрического разбиения для функториального гомотопически ассоциативного копроизведения с соотношениями из теории некоммутативных симметрических функций Гельфанда-Ласку-Ретаха.
4.2. Построение универсальных характеристических классов в пространствах отображений, ассоциированных с особенностями стабильных отображений.
4.3. Исследования по построению самосогласованной теории динамики мембран (М2 бран).
4.4.Исследование вопроса о связи петлевых уравнений матричной модели и уравнений голоморфной аномалии в топологических теориях поля.
4.5. Обобщение результатов по обращению дифференциального оператора в итерационной последовательности линейных уравнений, к которым сводятся нелинейные уравнения Эйлера-Лагранжа для задачи Плато на задачу с многосвязной границей.
4.6. Изучение эффекта перенормировки тета-члена и топологических зарядов и построение модификации процедуры непертурбативной ренормгруппы.
4.7. Вычисление слоёв пучков Горески-Макферсона на двойном аффинном грассманиане.
  4.8. Использование обобщённых уравнений Бюргерса для отыскания интересных дифференциальных и функциональных уравнений на асимптотические разложения матричных интегралов.

5.1. Анализ единственности барицентрически автомодельного функториального гомотопически ассоциативного копроизведения на комбинаторных симплициальных цепях в любой размерности размерности.
5.2. Исследование инвариантов графов, ассоциированных с простейшими некоммутативными алгебрами Ли, связанных с топологическими квантовыми теориями поля.
5.3. Получение рекурсивных формул для характеров пространств регулярных функций на пространстве застав.
5.4. Описание квантовой теории поля на пространстве как флуктуации элементов тензорной алгебры вокруг А-бесконечность структуры, задающей пустое пространство.
5.5. Интерпретация полученных на предыдущем асимптотических разложений соответствующих матричных интегралов, особенно интересные в случаях, когда эти разложения оказываются тау-функциями интегрируемых иерархий.
5.6. Изучение связи между калибровочными теориями, струнами и квантовыми спиновыми системами.
5.7. Сравнение тензорной категорной структуры на несимметричных билинейных формах со взвешенными отмеченными полуортогональными базисами с аналогичной структурой на фуксовых уравнениях, описание монодромий свёрток уравнений в терминах отражений относительно элементов полуортогонального базиса тензорного произведения соответствующих форм.

6.1. Получение явных формул для коэффициентов производящих рядов барицентрически автомодельных функториальных гомотопически ассоциативных копроизведений на комбинаторных симплициальных цепях. 6.2. Построение миррор-двойственной теории к тропической теории Громова-Виттена, обобщающее известные конструкции для торических тропических многообразий.
6.3. Исследование возможности построения инвариантов матроидов по некоммутативным алгебрам Ли.
6.4. Вывод фермионных формул для характеров пространств регулярных функций на пространстве застав и доказательство того, что они удовлетворяют разностному уравнению Тоды.
6.5. Интерпретация комплексно-двумерной версии теории Громова-Виттена как обобщения теории топологических струн типа А с комплексно-двумерным таргет-пространством.
6.6. Изучение (на основе полученных на предыдущих этапах результатов) связи операторов в дуальных калибровочных (матричные модели) и струнных (теория Лиувилля) теориях.
6.7. На примере CP1 модели изучение связи между матричными моделями, статистическими моделями случайных разбиений и моделями топологической струны.

6.8. Исследование производящих функций для log det – разложений результантов.
6.9. Изучение пространств модулярных данных стабильности на категории, порождённой исключительным набором, в частности, выяснение наличия каких-либо естественных комбинаторных или метрических структур на таких пространствах .
6.10. Разработка программы внедрение результатов НИР в образовательный процесс.