Регистрация / Вход
Прислать материал

Асимптотические методы в теории краевых задач математической физики

Стадии проекта
Предложение принято
Конкурс завершен
Проект закончен
Проект
02.740.11.0612
Организация
ФГБОУ ВО "ЧелГУ"
Руководитель работ
Ильин Арлен Михайлович
Продолжительность работ
2010 - 2012, 31 мес.
Бюджетные средства
7 млн
Внебюджетные средства
1,75 млн

Информация отсутствует

Соисполнители

Организация
ИММ УрО РАН
Организация
ИМВЦ УНЦ РАН

Участники проекта

Зам. руководителя работ
Долбеева Светлана Филипповна

Этапы проекта

1
29.03.2010 - 31.07.2010
1. Наименование разрабатываемой продукции

– Методика исследования задачи о двумерном периодическом дифференциальном операторе с малым локализованным несимметричным возмущением и теоретические результаты, описывающую качественную структуры спектра возмущённого оператора.
– Методика исследования задачи оптимального управления, описываемой системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными, гладким ограничивающим множеством и выпуклым терминальным критерием качества, и теоретические результаты, описывающие асимптотики значения функционала качества и оптимального управления в различных случаях вырождения «предельных» задач, связанных с различными начальными условиями.
– Методика исследования задачи о диссипативном возмущении резонансных решений нелинейных дифференциальных уравнений и теоретические результаты, аналитически описывающие процесс обрыва авторезонансного роста из-за малой диссипации.
– Методика исследования задачи Коши на полуплоскости для уравнения теплопроводности и уравнения Бюргерса, и теоретические результаты, описывающие полное асимптотическое представление решения.
– Методика исследования вопроса о том, может ли замыкание границы устойчивости, расположенной внутри класса векторных полей с монодромной особой точкой, пересечь границу рассматриваемого класса.

2. Характеристика выполненных на этапе работ по созданию продукции

2.1. Результаты работы на первом этапе, в том числе: На первом этапе рассмотрен двумерный периодический оператор с малым несимметричным локализованным возмущением, причем существенно обобщено понятия локализованности возмущения. Детально исследованы качественная структура и асимптотическое поведение спектра такого оператора. Изучен эффект возникновения новых собственных значений из краёв лакун в существенном спектре невозмущённого оператора, получены необходимые и достаточные условия возникновения новых собственных значений, построены первые члены асимптотических разложений возникающих собственных значений и соответствующих собственных функций.

Построено полное асимптотическое разложение оптимального управления в задаче, описываемой системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными, гладким ограничивающим множеством и выпуклым терминальным критерием качества в случае, когда оптимальное значение функционала качества имеет степенную асимптотику. Показано, что в этом случае асимптотическое разложения оптимального управления включает в себя пограничный слой.

Построено авторезонансное решение для уравнения Дюффинга с трением. Показано, что авторезонансное решение является притягивающим множеством. Вычислена наибольшая амплитуда колебаний для авторезонансных решений и время перехода от режима авторезонансного роста амплитуды решения к режиму быстрых колебаний. Аналитические результаты проиллюстрированы вычислениями.

Построение и обоснование полного асимптотического представления решения задачи Коши на полуплоскости для уравнения теплопроводности и уравнения Бюргерса.

Вычислен второй член асимптотики преобразования монодромии монодромной особой точки для некоторого класса векторных полей на плоскости, диаграмма Ньютона которых состоит из двух четных ребер.

Исследован вопрос о том, может ли замыкание границы устойчивости, расположенной внутри класса векторных полей с монодромной особой точкой, пересечь границу рассматриваемого класса. Получен положительный ответ.

При решении перечисленных задач разработаны соответствующие методики из пункта 1.

2.2. Все применяемые решения основаны на подходах, соответствующих мировому уровню, и модифицированы в соответствие со спецификой рассматриваемых задач. Разработаны новые методы и подходы для решения исследуемых задач, выявлены новые эффекты.

2.3. Особенностью исследования была разработка новых методик для изучения поставленных задач и выявление новых интересных эффектов. В частности, в задаче о возмущении периодического оператора была проведено нетривиальное исследование асимптотического поведения невозмущённой резольвенты в окрестности края лакуны, рассматриваемой в определённых весовых пространствах. При исследовании оптимального управления в задаче, описываемой системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными, особенностью было установление связи между оптимальным управлением и вектором, определяющим экстремальное значение рассматриваемого выпуклого функционала.

2.4. Объекты интеллектуальной собственности, созданные на отчетном этапе, отсутствуют.

3. Области и масштабы использования полученных результатов

3.1. Полученные результаты и методики могут быть использованы при исследовании схожих задач в спектральной теории и теории возмущений периодических дифференциальных операторов, при исследовании сингулярно возмущенных задач теории оптимального управления и их приложениях, при изучении нелинейных моделей авторезонанса, при исследовании асимптотического поведения линейных и нелинейных эволюционных уравнений, при исследовании особых точек векторных полей на вещественной и комплексной плоскостях.

3.2. Ход практического внедрения полученных результатов. Результаты исследования включены в содержание специальных курсов. Результаты докладывались на различных учебных семинарах для аспирантов, магистрантов и студентов старших курсов.

3.3. Полученные результаты дают основание для повышения уровня методического образования исследователей в данной области и, тем самым, закрепления их в этой сфере деятельности. Разработанные методики будут использоваться аспирантами при работе над кандидатскими диссертациями, что увеличит число успешно защитившихся диссертантов.

4. Выводы
Работы, запланированные на первый этап, полностью выполнены в соответствие с техническим заданием и календарным планом. Все ожидаемые результаты получены.
Развернуть
2
01.08.2010 - 15.11.2010
Изучен эффект возникновения новых собственных значений из края существенного спектра у лапласиана в многомерном цилиндре при возмущении растущим потенциалом с малым носителем. Получены необходимые и достаточные условия существования и отсутствия таких собственных значений, в случае существования построены первые члены их асимптотических разложений.


Изучено асимптотическое поведение времени быстродействия в задаче оптимального управления, зависящей от двух малых параметров. Построена и строго обоснована асимптотика решения указанной задачи.


Изучена асимптотика решения краевой задачи для эллиптического уравнения с малым параметром при одной из старших производных в случае, когда "вырожденное" уравнение есть обыкновенное дифференциальное уравнение. Построена и строго обоснована указанной асимптотики.


Исследована асимптотика решений на бесконечности для разного типа модельных уравнений главного резонанса, которые возникают в задачах о синхронизации и об авторезонансе.
Изучена устойчивость решений с растущей степенной асимптотикой для известных уравнений главного резонанса.
Развернуть
3
01.01.2011 - 31.07.2011
3.1. Изучение асимптотического поведения спектра лапласиана в тонких стержнях и пластинах с краевым условием Дирихле, выделение двупараметрического семейства собственных значений и соответствующих собственных функций, для которых будут построены полные асимптотические разложения.
3.2. Изучение асимптотического поведения критерия качества в задаче оптимального управления амплитудой солитонов, зависящей от двух малых параметров. Получение главного члена асимптотического разложения решения.
3.3. Выделение систем нелинейных уравнений, в которых возможен авторезонанс.
3.4 Исследование системы нелинейно связанных осцилляторов с диссипацией под действием осциллирующей внешней силы и возникающие в них авторезонансные режимы.
3.5 Построение и обоснование в метрике пространства L2 полного асимптотического представления решения задачи Коши на полуплоскости для интегро-дифференциального уравнения Хамера излучающего газа.
3.6 Вычисление второго члена асимптотики преобразования монодромии в классе векторных полей, при раздутии которых получается вырожденная особая точка.
Развернуть
4
01.08.2011 - 15.11.2011
Рассмотрена задача о броуновском движении частицы в тонкой пластине. Получены асимптотические разложения вероятностных характеристик, описывающих движение частицы. Данные характеристики следующие: время выхода частицы при начале движения из заданной точки, среднее время выхода частицы из области, максимальное время выхода частиц из области, положение точки, которое соответствует максимальное время выхода. Предъявлены рекуррентные формулы для коэффициентов асимптотик.

Рассмотрена задача Коши для квазилинейного параболического уравнения с малым параметром при старшей производной. Рассмотрен случай, когда производная начальной функции велика, причём обратная величина является вторым независимым малым параметром. Исследована асимптотика решения такой задачи по двум малым параметрам.

Рассмотрена задача оптимального граничного управления решениями уравнения эллиптического типа в ограниченной области с гладкой границей с малым коэффициентом при операторе Лапласа и интегральными ограничениями на управление. Получено полное асимптотическое разложение по степеням малого параметра решения задачи.

Рассмотрена система трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, известная в теории ядерного магнитизма под названием уравнения Блоха. Система содержит четыре безразмерных параметра в качестве коэффициентов. Исследованы положения равновесия и их устойчивость в зависимости от этих параметров. Обнаружена возможность появления двух устойчивых положений равновесия. При отсутствии диссипации уравнения интегрируются. Для задачи с малой диссипацией вдали от равновесия построены приближенные решения методом усреднения.

Рассмотрена проблема интегрируемости уравнений главного резонанса – систем, возникающих как условие отсутствия секулярных членов в асимптотических разложениях решений уравнений в некоторых задачах математической физики. Применение к ним теста Пенлеве позволило выделить два класса таких систем, являющихся интегрируемыми. Найдены соответствующие замены переменных, связывающие решение этих систем с решениями интегрируемых обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрена задача для уравнения мелкой воды около поверхностей, на которых вектор коэффициентов имеет типичную особенность складки. Построены асимптотические решения такой задачи.
Развернуть
5
01.01.2012 - 15.06.2012
1. Изучение асимптотического поведения спектра задач для оператора Лапласа с микроперфорацией вдоль границы ограниченной области. Построение и строгое обоснование асимптотических разложений собственных значений и собственных функций такой задачи.
2. Изучение асимптотического поведения оптимального управления в сингулярно возмущенной задаче оптимального управления с терминальным критерием качества. Построение и строгое обоснование асимптотики решения указанной задачи.
3. Переход к изучению влияния диссипации на резонансные решения уравнений в частных производны. В том числе, исследование влияние диссипации на формирование солитонов под действием локального резонанса.
4. Обоснование в равномерной метрике асимптотического представления решения задачи Коши на полуплоскости уравнения Хамера излучающего газа.
Развернуть
6
16.06.2012 - 10.10.2012
Проведено формальное построение и строгое обоснование двупараметрических асимптотических разложений собственных значений и собственных функций одномерного оператора Шредингера, возмущенного растущим потенциалом с малым носителем.
  
Изучено асимптотическое поведение времени быстродействия в задаче оптимального управления, зависящей от двух малых параметров, когда управляющему воздействию подвержены лишь быстрые переменные. Построены и строго обоснованы асимптотики решения указанной задачи.

  Изучено асимптотическое поведение решения краевой эллиптической задачи, когда предельное уравнение есть параболическое уравнение в окрестности точки внутреннего касания характеристики и границы области. Построены и строго обоснованы асимптотики решения указанной задачи.

Исследованы области резонансного захвата с целью выписать для них асимптотические формулы.
  
Проведены патентные исследования по ГОСТ 15.011-96.

Разработана программа внедрения НИР в образовательный процесс.
Развернуть

Программа

Программа "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009 - 2013 годы

Программное мероприятие

1.1 Проведение научных исследований коллективами научно-образовательных центров
Математическое моделирование сложных динамических систем 1. Моделирование процессов компенсации разладок в задачах старения. 2. Математическое и имитационное истощение стволовых клеток крови. 3. Математическое и имитационное построение оценок разладок в частично-наблюдаемых схемах. 4. Математические модели роста и инволюции опухолей. 5. Асимптотическая интерполяция управляемых систем. 6. Математическое моделирование взаимодействия большого числа частиц в вязкой жидкости. 7. Математические методы изучения процесса воздействия лазерного облучения. 8. Численные методы решения многомерных краевых задач математической физики. 9. Математическая модель движения вязкоупругого стержня. 10. Алгоритмы и методы реализации дискретной циклической свертки в информационно-измерительных системах. 11. Аналитические математические модели свободных и вынужденных движений стержней.
Продолжительность работ
2011, 5 мес.
Бюджетные средства
1,48 млн
Организация
РГСУ
профинансировано
Продолжительность работ
2009 - 2011, 24 мес.
Бюджетные средства
3,6 млн
профинансировано
Продолжительность работ
2009 - 2010, 10 мес.
Бюджетные средства
2 млн
Организация
ФГБОУ ВО "НИУ "МЭИ"
профинансировано
Тема
«Организационно-техническое обеспечение проведения российско-украинской научной школы «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики»»
Бюджетные средства
0 млн
Количество заявок
0
Тема
«Организационно-техническое обеспечение проведения всероссийской научной школы «Современные методы в теории краевых задач»»
Бюджетные средства
0 млн
Количество заявок
0
Тема
«Организационно-техническое обеспечение проведения всероссийской научной школы «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики»»
Бюджетные средства
0 млн
Количество заявок
0
Тема
«Организационно-техническое обеспечение проведения всероссийской молодежной конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения» в рамках фестиваля науки».
Продолжительность работ
2012, 2 мес.
Бюджетные средства
0,7 млн
Количество заявок
2
Тема
Развитие методов изучения спектральных свойств и разрешимости краевых задач для гиперболических уравнений, параболических уравнений и уравнений смешанного типа и решение специальных задач теории управления.
Продолжительность работ
2008, 3 мес.
Бюджетные средства
1,2 млн
Количество заявок
1